積率母関数
(モーメント母関数 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/06/05 19:03 UTC 版)
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確率論や統計学において、確率変数 X の積率母関数またはモーメント母関数(英: moment-generating function)は、期待値が存在するならば次の式で定義される。
積率母関数がそのように呼ばれるのは、t = 0 の周囲の開区間上でそれが存在する場合、それが確率分布のモーメントの母関数であるからである。
積率母関数がそのような区間について定義される場合、それにより確率分布が一意に決定される。
積率母関数で重要なことは、積分が収束しない場合、積率(モーメント)と積率母関数が存在しない可能性がある点である。これとは対照的に特性関数は常に存在するため、そちらを代わりに使うこともある。
より一般化すると、n-次元の確率変数ベクトル(ベクトル値確率変数) の場合、 の代わりに を使い、次のように定義する。
計算
積率母関数はリーマン=スティルチェス積分で次のように与えられる。
ここで F は累積分布関数である。
X が連続な確率密度関数 f(X) を持つ場合、 は f(x) の両側ラプラス変換である。
ここで、 は i番目のモーメントである。
2つの独立確率変数の和
2つの独立な確率変数の和の積率母関数は次のようになる。
独立確率変数の総和(一般化)
X1, X2, ..., Xn が一連の独立確率変数で(分布が同一である必要は無い)、
としたとき(ai は定数)、Sn の確率密度関数はそれぞれの Xi の確率密度関数の畳み込みとなり、Sn の積率母関数は次のようになる。
他の関数との関係
積率母関数に関連して、確率論にはいくつかの変換が存在する。
- 特性関数
- 特性関数 と積率母関数は という関係にある。すなわち、特性関数は iX の積率母関数であり、X の積率母関数を虚数軸で評価したものである。
- キュムラント母関数
- キュムラント母関数は積率母関数の対数として定義される。特性関数の対数をキュムラント母関数とする場合もあるが、通常そちらは「第2」キュムラント母関数と呼ぶ。
- 確率母関数
- 確率母関数は で定義される。したがって、 である。
具体例
分布 | 積率母関数 |
---|---|
二項分布 | |
コーシー分布 | 存在しない[1]。 |
指数分布 | for |
正規分布 | |
ポアソン分布 |
注
- ^ Allan Gut: Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-1-4614-4707-8, Chapter 8, Example 8.2.
モーメント母関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/12/31 14:31 UTC 版)
「一般化双曲型分布」の記事における「モーメント母関数」の解説
モーメント母関数は以下の式で与えられる。 M G H ( u ) = exp ( u μ ) ( α 2 − β 2 ( α 2 − ( β + u ) 2 ) ) λ / 2 K λ ( δ α 2 − ( β + u ) 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) = exp ( u μ ) ( ζ ζ u ) λ K λ ( ζ u ) K λ ( ζ ) {\displaystyle {\begin{aligned}M_{GH}(u)&=\exp(u\mu )\left({\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2})}}\right)^{\lambda /2}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\\[0.5em]&=\exp(u\mu )\left({\frac {\zeta }{\zeta _{u}}}\right)^{\lambda }{\frac {K_{\lambda }(\zeta _{u})}{K_{\lambda }(\zeta )}}\end{aligned}}}
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