第2種ベータ分布

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第2種ベータ分布

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/08 03:49 UTC 版)

第2種ベータ分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	${\displaystyle \alpha >0}$ 形状母数 (実数) ${\displaystyle \beta >0}$ 形状母数 (実数)
台	${\displaystyle x\in (0,\infty )\!}$
確率密度関数	${\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}\!}$
累積分布関数	${\displaystyle I_{{\frac {x}{1+x}}(\alpha ,\beta )}}$ ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$ は正則化された不完全ベータ関数
期待値	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{ if }}\beta >1}$
最頻値	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{ if }}\alpha \geq 1{\text{, 0 otherwise}}\!}$
分散	${\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{ if }}\beta >2}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2(2\alpha +\beta -1)}{\beta -3}}{\sqrt {\frac {\beta -2}{\alpha (\alpha +\beta -1)}}}{\text{ if }}\beta >3}$
モーメント母関数	${\displaystyle {\frac {e^{-t}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\beta )}}G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha +\beta \\\beta ,0\end{matrix}}\;\right|\,-t\right)}$
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第2種ベータ分布（だい2しゅベータぶんぷ、英: beta prime distribution, beta distribution of the second kind）は、連続確率分布であり、確率変数 X が第1種ベータ分布に従うとき、X/1 − X の従う分布のこと。その確率密度関数は以下で定義される。

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {x^{\alpha -1}}{(1+x)^{\alpha +\beta }}}}$

一般化第2種ベータ分布

p > 0 が実数の形状パラメータ、q > 0 が実数のスケールパラメータの時、下記の確率密度関数を一般化第2種ベータ分布（英: generalized beta prime distribution）という。

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p\left({\frac {x}{q}}\right)^{\alpha p-1}\left(1+\left({\frac {x}{q}}\right)^{p}\right)^{-\alpha -\beta }}{qB(\alpha ,\beta )}}}$

ただし、表中にあるモーメント母関数の中のGで表される関数は「MeijerのG関数」というものである。(=>[一般超幾何関数：特殊関数グラフィックスライブラリー Special Functions (math-functions-1.watson.jp)])

参考文献

• 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).

関連項目

• 確率分布
• ベータ分布
• ベータ関数
• 不完全ベータ関数

表 話 編 歴 確率分布
離散単変量で 有限台	ベンフォード ベルヌーイ ベータ二項（英語版） 二項 categorical（英語版） 超幾何 ポワソン二項 ラーデマッハ（英語版） 離散一様 ジップ ジップ–マンデルブロー（英語版）
離散単変量で 無限台	ベータ負二項（英語版） ボレル（英語版） コンウェイ–マクスウェル–ポワソン（英語版） 離散位相型（英語版） ドラポルト（英語版） 拡張負二項（英語版） ガウス–クズミン 幾何 対数（英語版） 負の二項 放物フラクタル（英語版） ポワソン スケラム（英語版） ユール–サイモン（英語版） ゼータ（英語版）
連続単変量で 有界区間に台を持つ	逆正弦（英語版） ARGUS（英語版） バルディング–ニコルス（英語版） ベイツ（英語版） ベータ beta rectangular（英語版） アーウィン–ホール（英語版） クマラスワミー（英語版） ロジット-正規（英語版） 非中心ベータ（英語版） raised cosine（英語版） reciprocal（英語版） 三角 U-quadratic（英語版） 一様 ウィグナー半円
連続単変量で 半無限区間に台を持つ	ベニーニ（英語版） ベンクタンダー第一種（英語版） ベンクタンダー第二種（英語版） 第2種ベータ Burr（英語版） カイ二乗 カイ（英語版） Dagum（英語版） デービス（英語版） 指数-対数（英語版） アーラン 指数 F folded normal（英語版） Flory–Schulz（英語版） フレシェ ガンマ gamma/Gompertz（英語版） 一般逆ガウス（英語版） Gompertz（英語版） half-logistic（英語版） half-normal（英語版） Hotelling's T-squared（英語版） 超アーラン（英語版） 超指数（英語版） hypoexponential（英語版） 逆カイ二乗（英語版） scaled inverse chi-squared（英語版） 逆ガウス 逆ガンマ コルモゴロフ レヴィ 対数コーシー 対数ラプラス（英語版） 対数ロジスティック（英語版） 対数正規 ロマックス（英語版） 行列指数（英語版） マクスウェル–ボルツマン マクスウェル–ユットナー（英語版） ミッタク-レフラー（英語版） 仲上（英語版） 非心カイ二乗 パレート 位相型（英語版） poly-Weibull（英語版） レイリー relativistic Breit–Wigner（英語版） ライス（英語版） shifted Gompertz（英語版） 切断正規 タイプ2ガンベル（英語版） ワイブル 離散ワイブル（英語版） ウィルクスのラムダ（英語版）
連続単変量で 実数直線全体に台を持つ	コーシー 指数冪（英語版） フィッシャーの z（英語版） ガウスの q（英語版） 一般正規（英語版） 一般化双曲型 幾何安定（英語版） ガンベル ホルツマルク（英語版） 双曲線正割 ジョンソンの SU（英語版） ランダウ ラプラス 非対称ラプラス（英語版） ロジスティック 非心 t 正規 (ガウス) 正規逆ガウス（英語版） 歪正規（英語版） スラッシュ 安定 スチューデントの t タイプ1ガンベル（英語版） トレイシー–ウィダム（英語版） 分散ガンマ（英語版） フォークト
連続単変量で タイプの変わる台を持つ	一般極値 一般パレート（英語版） マルチェンコ–パストゥール（英語版） q-指数（英語版） q-ガウス q-ワイブル（英語版） shifted log-logistic（英語版） トゥーキーのラムダ（英語版）
混連続-離散単変量	rectified Gaussian（英語版）
多変量 (結合)	【離散】 エウェンズ（英語版） 多項 ディリクレ多項（英語版） 負多項（英語版） 【連続】 ディリクレ 一般ディリクレ（英語版） 多変量正規 多変量安定（英語版） 多変量 t（英語版） 正規逆ガンマ（英語版） 正規ガンマ（英語版） 【行列値】 逆行列ガンマ（英語版） 逆ウィッシャート（英語版） 行列正規（英語版） 行列 t（英語版） 行列ガンマ（英語版） 正規逆ウィッシャート（英語版） 正規ウィッシャート（英語版） ウィッシャート
方向	【単変量 (円周) 方向】 円周一様（英語版） 単変数フォン・ミーゼス wrapped 正規（英語版） wrapped コーシー（英語版） wrapped 指数（英語版） wrapped 非対称ラプラス（英語版） wrapped レヴィ（英語版） 【二変量 (球面)】 ケント（英語版） 【二変量 (トロイダル)】 二変数フォン・ミーゼス（英語版） 【多変量】 フォン・ミーゼス–フィッシャー（英語版） ビンガム（英語版）
退化と特異	【退化】 ディラックのデルタ関数 【特異】 カントール
族	円周（英語版） 混合ポワソン（英語版） 楕円（英語版） 指数 自然指数（英語版） 位置尺度（英語版） 最大エントロピー（英語版） 混合（英語版） ピアソン（英語版） トウィーディ（英語版） wrapped（英語版）
サンプリング法（英語版）	逆関数サンプリング法 マルコフ連鎖モンテカルロ法（メトロポリス・ヘイスティングス法・ギブスサンプリング・スライスサンプリング） 粒子フィルタ ボックス＝ミュラー法 棄却サンプリング（英語版） ジッグラト法（英語版） マルサグリア法（英語版）
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