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退化分布
確率質量関数
{{{画像/確率関数}}}
累積分布関数
k0 =0 の場合の累積分布関数
母数
k
0
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle k_{0}\in (-\infty ,\infty )\,}
台
x
=
k
0
{\displaystyle x=k_{0}\,}
確率質量関数
1
for
x
=
k
0
0
elsewhere
{\displaystyle {\begin{matrix}1&{\mbox{for }}x=k_{0}\\0&{\mbox{elsewhere}}\end{matrix}}}
累積分布関数
0
for
x
<
k
0
1
for
x
≥
k
0
{\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<k_{0}\\1&{\mbox{for }}x\geq k_{0}\end{matrix}}}
期待値
k
0
{\displaystyle k_{0}\,}
中央値
k
0
{\displaystyle k_{0}\,}
最頻値
k
0
{\displaystyle k_{0}\,}
分散
0
{\displaystyle 0\,}
歪度
未定義
尖度
未定義
エントロピー
0
{\displaystyle 0\,}
モーメント母関数
e
k
0
t
{\displaystyle e^{k_{0}t}\,}
特性関数
e
i
k
0
t
{\displaystyle e^{ik_{0}t}\,}
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数学 の分野における退化分布 (たいかぶんぷ、英 : degenerate distribution )とは、ただ一つの値のみを取る確率変数 の確率分布 のことを言う。
例としては、両側とも表 となっているコイン や、すべての目 が同じ値 になっているサイコロ などが考えられる。この分布 は、日常生活の言葉の意味としてのランダム ではない様に思われるが、確率変数の定義を満たすものである。
退化分布は、実数直線 上のある一点 k 0 に配置される。
その確率質量関数 は次のように与えられる:
f
(
k
;
k
0
)
=
{
1
,
if
k
=
k
0
0
,
if
k
≠
k
0
{\displaystyle f(k;k_{0})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}k=k_{0}\\0,&{\mbox{if }}k\neq k_{0}\end{matrix}}\right.}
また、退化分布の累積分布関数 は次のように与えられる:
F
(
k
;
k
0
)
=
{
1
,
if
k
≥
k
0
0
,
if
k
<
k
0
{\displaystyle F(k;k_{0})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}k\geq k_{0}\\0,&{\mbox{if }}k<k_{0}\end{matrix}}\right.}
一定の確率変数
確率論 における一定の確率変数 (constant random variable)とは、起こる事象 に拘わらずある一定の定数 値を取り続ける離散 確率変数 のことを言う。他の値を取ることもあるが、そのような事象が起こる確率がゼロであるようなほとんど確実に 一定の確率変数 (almost surely constant variable)とは、厳密な意味で異なる概念である。一定の、あるいは、ほとんど確実に一定の確率変数は、確率論的な枠組みにおいて定数を扱う際に有用となる。
X : Ω → R を、確率空間 (Ω, P ) 上で定義される確率変数とする。このとき、X がほとんど確実に一定の確率変数 であるとは、
Pr
(
X
=
c
)
=
1
{\displaystyle \Pr(X=c)=1}
であるような
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
が存在することを言う。また、X が一定の確率変数 であるとは、
X
(
ω
)
=
c
,
∀
ω
∈
Ω
{\displaystyle X(\omega )=c,\quad \forall \omega \in \Omega }
であるような
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
が存在することを言う。
一定の確率変数は、ほとんど確実に一定の確率変数であるが、その逆は成立しないことに注意されたい。なぜならば、ほとんど確実に一定の確率変数 X に対しては、X (γ) ≠ c であるような γ ∈ Ω が存在することもあるからである(しかし、Pr({γ}) = 0 すなわち Pr(X ≠ c) = 0 が必ず成り立つ)。
実践的な場面では、X が一定であるかほとんど確実に一定であるかの違いは重要ではない。なぜならば、X の確率質量関数 f (x ) および累積分布関数 F (x ) は、いずれの場合でも
f
(
x
)
=
{
1
,
x
=
c
,
0
,
x
≠
c
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x=c,\\0,&x\neq c\end{cases}}}
および
F
(
x
)
=
{
1
,
x
≥
c
,
0
,
x
<
c
{\displaystyle F(x)={\begin{cases}1,&x\geq c,\\0,&x<c\end{cases}}}
となるからである。
関数 F (x ) は階段関数 、特にヘヴィサイドの階段関数 の平行移動 である。
関連項目
離散単変量で 有限台
離散単変量で 無限台
連続単変量で 有界区間に台を持つ
連続単変量で 半無限区間に台を持つ
連続単変量で 実数直線全体に台を持つ
連続単変量で タイプの変わる台を持つ
混連続-離散単変量
多変量 (結合)
方向
退化 と特異
族
サンプリング法(英語版 )