カントール分布とは？わかりやすく解説

カントール分布（カントールぶんぷ、英: Cantor distribution）とは、累積分布関数がカントール関数である確率分布のことである。

この分布はルベーグ測度に関して絶対連続ではなく、どのような点質量も持たないため、確率密度関数も確率質量関数も存在しない。したがってこの分布は離散確率分布でも絶対連続確率分布でもなく、それらを組み合わせたものでもない。この分布はむしろ特異分布の一例である。

この分布の累積分布関数は、しばしば「悪魔の階段」と呼ばれる。しかしこの用語はより一般的な意味を持つものである。

特徴

カントール分布の台はカントール集合、つまり（可算個の）集合

{\begin{aligned}C_{0}=&[0,1]\\C_{1}=&[0,{\tfrac {1}{3}}]\cup [{\tfrac {2}{3}},1]\\C_{2}=&[0,{\tfrac {1}{9}}]\cup [{\tfrac {2}{9}},{\tfrac {1}{3}}]\cup [{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {7}{9}}]\cup [{\tfrac {8}{9}},1]\\C_{3}=&[0,{\tfrac {1}{27}}]\cup [{\tfrac {2}{27}},{\tfrac {1}{9}}]\cup [{\tfrac {2}{9}},{\tfrac {7}{27}}]\cup [{\tfrac {8}{27}},{\tfrac {1}{3}}]\cup \\&[{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {19}{27}}]\cup [{\tfrac {20}{27}},{\tfrac {7}{9}}]\cup [{\tfrac {8}{9}},{\tfrac {25}{27}}]\cup [{\tfrac {26}{27}},1]\\C_{4}=&\cdots \end{aligned}}

一覧（英語版）