級数展開とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

級数展開

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/26 14:07 UTC 版)

「冪函数」の記事における「級数展開」の解説

詳細は「二項級数」を参照冪函数 fa は x0 の近傍で冪級数 ( x 0 + x ) a = ∑ n = 0 + ∞ ( a n ) x 0 a − n x n {\displaystyle (x_{0}+x)^{a}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{{a \choose n}\,x_{0}^{a-n}x^{n}}} に展開できる。ただし、 ( a n ) := a ( a − 1 ) ( a − 2 ) ⋯ ( a − n + 1 ) n ! {\displaystyle {a \choose n}:={\frac {a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{n!}}} et ( a 0 ) := 1 {\displaystyle {a \choose 0}:=1} は一般二項係数である。 a が自然数ならば、上記の和は有限項で止まり、二項定理となることに注意する（特にその場合には、収束半径は無限大である）。さもなくば和は無限項を含み、収束半径 x0 である。

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級数展開

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/19 02:08 UTC 版)

「指数積分」の記事における「級数展開」の解説

Ein (z) のテイラー展開は次のように与えられる。 Ein ⁡ ( z ) = ∫ 0 z ∑ k = 1 ∞ ( − t ) k − 1 k ! d t = − ∑ k = 1 ∞ ( − z ) k k k ! {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ein} (z)&=\int _{0}^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-t)^{k-1}}{k!}}\,\operatorname {d} \!t\\&=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\;k!}}\end{aligned}}} これは複素平面全体で収束する。また次のような展開も可能である。 Ein ⁡ ( z ) = ∫ 0 z e − t ∑ k = 1 ∞ t k − 1 k ! d t = e − z ∑ n = 1 ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k ) z n n ! Ein ⁡ ( z ) = ∫ 0 z e − t / 2 ∑ k = 0 ∞ ( t / 2 ) 2 k ( 2 k + 1 ) ! d t = e − z / 2 ∑ n = 1 ∞ ( ∑ k = 0 ⌊ ( n − 1 ) / 2 ⌋ 2 2 k + 1 ) ( z / 2 ) n n ! {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ein} (z)&=\int _{0}^{z}e^{-t}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {t^{k-1}}{k!}}\,\operatorname {d} \!t\\&=e^{-z}\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\\\operatorname {Ein} (z)&=\int _{0}^{z}e^{-t/2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(t/2)^{2k}}{(2k +1)!}}\,\operatorname {d} \!t\\&=e^{-z/2}\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {2}{2k +1}}\right){\frac {(z/2)^{n}}{n!}}\end{aligned}}}

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級数展開（速度）

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/30 09:29 UTC 版)

「ローレンツ因子」の記事における「級数展開（速度）」の解説

ローレンツ因子は下記のように二項級数の形にマクローリン展開できる。 γ = 1 1 − β 2 = ∑ n = 0 ∞ β 2 n ∏ k = 1 n ( 2 k − 1 2 k ) = 1 + 1 2 β 2 + 3 8 β 4 + 5 16 β 6 + 35 128 β 8 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+\cdots \\\end{aligned}}} 上式を二次までで打ち切った近似式 γ ≈ 1 + 1/2 β2 は低速における相対論効果を計算するために用いられる。この近似式は v < 0.4 c (v < 7008120000000000000♠120000 km/s) の範囲において誤差 1% 以下に納まり、 v < 0.22 c (v < 7007660000000000000♠66000 km/s) の範囲においては誤差 0.1% に納まる。この級数を打ち切った近似式から、特殊相対性理論が低速域ではニュートン力学に帰着することを示すことができる。例えば、次の二つの方程式は p → = γ m v → {\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}} E=γ m c 2 {\displaystyle E=\gamma mc^{2}\,} それぞれ γ ≈ 1 および γ ≈ 1 + 1/2β2 を代入することで次のニュートン力学の方程式に帰着する。 p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} E=m c 2 + 1 2 m v 2 {\displaystyle E=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}} ローレンツ因子の方程式を逆に解くと以下を得る。 β = 1 − 1 γ 2 {\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}} この式は下のような漸近形式に直すことができる。 β = 1 − 1 2 γ − 2 − 1 8 γ − 4 − 1 16 γ − 6 − 5 128 γ − 8 + ⋯ {\displaystyle \beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots } これを初めの2項までで打ち切った近似式 β ≈ 1 - 1/2γ2 が大きな値の γ から速度を概算することに使われることがある。誤差は γ> 2 の範囲において 1%、 γ > 3.5 の範囲において 0.1% に納まる。

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級数展開

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/19 19:27 UTC 版)

「逆双曲線関数」の記事における「級数展開」の解説

上記の関数は次のように級数展開できる。 arsinh x = x − ( 1 2 ) x 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x 5 5 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) , | x | < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}} arcosh x=ln ⁡ 2 x − ( ( 1 2 ) x − 2 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x − 4 4 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x − 6 6 + ⋯ ) = ln ⁡ 2 x − ∑ n=1 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x − 2 n ( 2 n ) , x> 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1\end{aligned}}} artanh x = x + x 3 3 + x 5 5 + x 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) , | x | < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}} arcsch x=arsinh ⁡ 1 x=x − 1 − ( 1 2 ) x − 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x − 5 5 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x − 7 7 + ⋯ = ∑ n=0 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x − ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) , | x |> 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}} arsech x = arcosh ⁡ 1 x = ln ⁡ 2 x − ( ( 1 2 ) x 2 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x 4 4 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 6 6 + ⋯ ) = ln ⁡ 2 x − ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x 2 n 2 n , 0 < x ≤ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} \,x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}} またオイラーによるarctanの展開の類似も成り立つ。 artanh x = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) ! ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 1 − x 2 ) n + 1 , | x | < 1 2 {\displaystyle \operatorname {artanh} \,x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(1-x^{2})^{n+1}}},\qquad \left|x\right|<{\frac {1}{\sqrt {2}}}} ( arsinh x ) 2 = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n + 1 ( n ! ) 2 ( 2 n + 2 ) ! ( − 1 ) n x 2 n + 2 , | x | < 1 {\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n+1}(n!)^{2}}{(2n+2)!}}(-1)^{n}x^{2n+2},\qquad \left|x\right|<1} arsinh x に対する漸近展開は次の式で与えられる。 arsinh x = ln ⁡ 2 x + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n ( 2 n ) ! ! 1 x 2 n {\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x=\ln 2x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}