冪級数展開を用いる証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:59 UTC 版)
「ライプニッツの公式」の記事における「冪級数展開を用いる証明」の解説
三角関数の一つ tan θ を θ について微分すると d d θ tan θ = 1 + tan 2 θ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\tan \theta =1+\tan ^{2}\theta } となる。ここで tan θ = x とおくと d x d θ = 1 + x 2 , d θ d x = 1 1 + x 2 ⋯ ( 1 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}=1+x^{2},\quad {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{1+x^{2}}}\quad \cdots (1)} が導かれる。 また以下の等比級数を考える。 1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − ⋯ = 1 1 + x 2 ( | x | < 1 ) ⋯ ( 2 ) {\displaystyle 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+x^{8}-\cdots ={\frac {1}{1+x^{2}}}\qquad (|x|<1)\quad \cdots (2)} 左辺は公比が −x2 であり、|−x2| < 1 すなわち |x| < 1 のとき 1/(1 + x2) に収束する。(1), (2)式から d θ d x = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − ⋯ ( | x | < 1 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+x^{8}-\cdots \qquad (|x|<1)} が得られる。この両辺を x について項別積分すれば θ = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + x 9 9 − ⋯ ( | x | < 1 ) ⋯ ( 3 ) {\displaystyle \theta =x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+{\frac {x^{9}}{9}}-\cdots \qquad (|x|<1)\quad \cdots (3)} となる（この時、左辺をarctan xと表すとグレゴリー級数のかたちとなる）。（x = 0のとき θ = 0 であるから定数項は 0 である。）tan θ = x としたので θ = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π/4 のとき x = 1 である。これを利用して(3)式に θ = π/4 と x = 1 を代入すると π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots } という式が現れる。ただし x = 1 は |x| < 1 の条件に反するので(3)式に x = 1 を代入できるかどうかが問題になるが、この場合は代入してもよいことが分かっている（アーベルの連続性定理）。
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