冪級数展開を用いた証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 07:01 UTC 版)
「ピタゴラスの定理」の記事における「冪級数展開を用いた証明」の解説
三角関数は級数によって定義されているものとし、cosθ と sinθ の自乗をそれぞれ計算すると sin 2 θ = ( ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 ) 2 = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! ( − 1 ) n − k ( 2 n − 2 k + 1 ) ! θ 2 n + 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n θ 2 n + 2 ( 2 n + 2 ) ! ∑ k = 0 n ( 2 ( n + 1 ) 2 k + 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 θ 2 n ( 2 n ) ! ∑ k = 0 n − 1 ( 2 n 2 k + 1 ) = − ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n θ 2 n ( 2 n ) ! ∑ k = 0 n − 1 ( 2 n 2 k + 1 ) cos 2 θ = ( ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! θ 2 n ) 2 = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( 2 k ) ! ( − 1 ) n − k ( 2 n − 2 k ) ! θ 2 n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n θ 2 n ( 2 n ) ! ∑ k = 0 n ( 2 n 2 k ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n θ 2 n ( 2 n ) ! ∑ k = 0 n ( 2 n 2 k ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\theta &=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\right)^{2}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}{\frac {(-1)^{n-k}}{(2n-2k+1)!}}\theta ^{2n+2}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\theta ^{2n+2}}{(2n+2)!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {2(n+1)}{2k+1}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}\theta ^{2n}}{(2n)!}}\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {2n}{2k+1}}\\&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\theta ^{2n}}{(2n)!}}\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {2n}{2k+1}}\\\cos ^{2}\theta &=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\theta ^{2n}\right)^{2}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}{\frac {(-1)^{n-k}}{(2n-2k)!}}\theta ^{2n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\theta ^{2n}}{(2n)!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n}{2k}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\theta ^{2n}}{(2n)!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n}{2k}}\end{aligned}}} となる。ここで二項定理より ∑ k = 0 n ( 2 n 2 k ) − ∑ k = 0 n − 1 ( 2 n 2 k + 1 ) = ∑ m = 0 2 n ( − 1 ) m ( 2 n m ) = ( 1 − 1 ) 2 n = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n}{2k}}-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {2n}{2k+1}}&=\sum _{m=0}^{2n}(-1)^{m}{2n \choose m}&=(1-1)^{2n}&=0\end{aligned}}} である。したがって sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1} が得られる。ここで、前提とした △ABC について考え、∠A = θ とおいて、三角関数と直角三角形の関係を考慮し、各辺の比を考えれば sin 2 θ : cos 2 θ : 1 = a 2 : b 2 : c 2 {\displaystyle \sin ^{2}\theta :\cos ^{2}\theta :1=a^{2}:b^{2}:c^{2}} であるから a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} が得られる。
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