冪関数

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冪函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/26 14:07 UTC 版)

数学の、特に解析学における冪函数（べきかんすう、巾函数、英: power function）は、適当な定数 a に対して定義される函数

$f_{a}\colon x\mapsto x^{a}$

冪指数がそれぞれ 0 (黒), 1 (青), 2 (赤), 3 (緑), 4 (橙), 5 (紫) の冪函数

各自然数 n に対して ℝ 上の函数

$f_{n}(x):=x^{n}=\underbrace {x\times \cdots \times x} _{n}$

冪指数がそれぞれ –1 (青), –2 (赤), –3 (緑) の冪函数

各負の整数 −n に対して、非零実数の集合 R* := R ∖ {0} = {x ∈ R | x ≠ 0} 上の函数

$f_{-n}(x):=x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}={\frac {1}{f_{n}(x)}}$

冪指数がそれぞれ 1/2 (青), 1/3 (赤) の冪函数

任意の非零自然数 n に対して、

• n が偶数のときは f_n: [0, +∞) → [0, +∞) と見て、
• n が奇数のときは f_n: ℝ → ℝ と見て、

函数 f_n は全単射である。従ってその逆函数が存在するが、f_n の逆函数は n-乗根函数といい、やはりこれも冪函数として

$f_{n}^{-1}(x):={\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}=:f_{1/n}(x)$

冪指数がそれぞれ -0,5 (赤), 0 (黒), 0,6 (緑), 1 (青), 1,7 (紫) の冪函数

指数函数と対数函数が既知ならば、それらを用いて冪函数を任意の実数を冪指数とするものへ一般化することができる。x は真に正の値をとるものとすれば、函数 f_a は

$f_{a}(x)=x^{a}:=e^{a\ln(x)}$ ポータル 数学

• 切断冪関数

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Power". MathWorld (英語).
• Power Function - PlanetMath.（英語）
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Power function", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。

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冪関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/07 05:16 UTC 版)

「両対数グラフ」の記事における「冪関数」の解説

冪関数 y = a x n を考える。a 、n は定数である。両辺の対数を取ると log ⁡ y = n log ⁡ x + log ⁡ a となる。したがってこれを両対数グラフで表す、すなわち横軸を log x に、縦軸を log y に取ると、このグラフは直線になる。対数の底には任意の正数を使っても底の変換をすることにより本質的な違いは生じないが、通常10を底とし常用対数を使うことが多い。 冪関数に従う実験データから回帰分析で定数a 、n を求めるとき、冪関数のままだと非線形回帰となるが、対数をとることで線形回帰として扱うことができ、解析が非常に簡単になる。