冪集合の上のフィルター

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冪集合の上のフィルター

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 10:05 UTC 版)

「フィルター (数学)」の記事における「冪集合の上のフィルター」の解説

フィルターの特別な例として冪集合上に定義されるフィルターが挙げられる。任意の集合 S に対し、その冪集合 P(S) 上に部分集合のあいだの包含関係によって半順序 ⊆ を定めることができ、これによって (P(S), ⊆) は束になる。特に混乱のないときは P(S) 上のフィルターは単に S 上のフィルターと呼ばれる。この集合 S 上のフィルター F は次のような P(S) の部分集合として特徴付けられる: S は F に入っている（F は空でない） 空集合は F に入っていない（F は固有フィルター） A と B が F に入っているならそれらの共通部分も F に入っている（F は有限の共通分操作について閉じている） A が F の元、B が S の部分集合でかつ A が B の部分集合になっていれば B も F に入っている（F は上に閉じている） はじめの3つの条件からフィルターは有限交差性を持つ（フィルターの元の有限個の共通分は空にならない）ことが分かる。 次の性質を持つ P(S) の部分集合 B はフィルター基と呼ばれる: B に属する有限個の集合の共通部分は B のある集合を含む B は空でなく、空集合は B に入っていない フィルター基 B が与えられたとき、 B を含む P(S) の元すべてを考えることでフィルターが得られる。 集合 X 上のフィルター F と写像 f: X → Y に対し、P(Y) の部分集合 { f(A) : A ∈ F } はフィルター基になっている。これによって生成されるフィルターは記法の濫用によって f(F) と書かれる。 S の各部分集合 T に対して、 T が生成する単項フィルターが考えられる。また、S の任意の元 p について、 {p} が生成する単項フィルターのことを言葉の濫用により p が生成する単項フィルターとも呼ぶ。S の任意の元 p について、p が生成するフィルターは超フィルターになっている。有限集合上の超フィルターは必ず単項フィルターの形をしている。反対に、（無限集合上で）単項フィルターの形をしていない超フィルターの存在証明にはツォルンの補題が必要になる。 F が S 上の超フィルターならば、S の任意の部分集合 A について A ∈ F か Ac ∈ F のどちらかが成立している。