冪級数への拡張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/16 05:55 UTC 版)
詳細は「コーシー積」を参照 多項式は有限個の項の和であるが、無限個の項の和である（形式的）冪級数に対する積が定義され、多項式の展開の自然な拡張とみなせる。以下、簡単のために1変数の冪級数 ∑ i = 0 ∞ a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb } についてのみ考える。ふたつの冪級数の積は ( ∑ i = 0 ∞ a i x i ) ( ∑ j = 0 ∞ b j x j ) = ∑ k = 0 ∞ ( ∑ i + j = k a i b j ) x k {\displaystyle {\Bigl (}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}{\Bigr )}=\sum _{k=0}^{\infty }{\Bigl (}\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}{\Bigr )}x^{k}} と定義される。冪級数をその収束域に対する関数とみなした場合、これは関数の積に対応する。
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