冪等元による環の特徴づけとは? わかりやすく解説

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冪等元による環の特徴づけ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/04/11 04:09 UTC 版)

冪等元」の記事における「冪等元による環の特徴づけ」の解説

環が半単純である必要十分条件すべての右(またはすべての左)イデアルがひとつの冪等元によって生成されることである。 環がフォン・ノイマン正則である必要十分条件すべての有限生成右(またはすべての有限生成左)イデアルがひとつの冪等元によって生成されることである。 環 R ≠ 0 が直既約英語版)である必要十分条件中心的冪等元自明な冪等元のみであることである。 環が半完全環である必要十分条件単位元直交する局所冪等元の(有限和へ分解できることである。 環が右直和成に関して昇鎖条件満たすことと左直和成に関して降鎖条件満たすこととどの2つ直交するような冪等元からなる集合有限であることは同値である。 すべての元が冪等元あるような環はブール環呼ばれるブール環可換標数2である。 すべての部分集合 S の右零化イデアル r.Ann(S) がひとつの冪等元によって生成されるような環はBaer 環(英語版)と呼ばれる条件すべての一元部分集合に対してのみ成り立つならば、その環は右Rickart 環(英語版)と呼ばれる。これらの環は両方とも、乗法単位元もたない場合でさえ興味深いすべての冪等元中心的な環はアーベル環(Abelian ring)と呼ばれる。この環は可換とは限らないすべての冪等元ジャコブソン根基を法として持ち上がるときに SBI環 (SBI ring) あるいは Lift/rad ring呼ばれる。 e が環 R の冪等元であればeRe は再び環になり、その乗法単位元は e である。環 eRe はしばしば R の corner ring呼ばれるcorner ring自己準同型環 EndR (eR) ≅ eRe によって自然に生じる。

※この「冪等元による環の特徴づけ」の解説は、「冪等元」の解説の一部です。
「冪等元による環の特徴づけ」を含む「冪等元」の記事については、「冪等元」の概要を参照ください。

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