冪等元による環の特徴づけ

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冪等元による環の特徴づけ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/11 04:09 UTC 版)

「冪等元」の記事における「冪等元による環の特徴づけ」の解説

環が半単純である必要十分条件はすべての右（またはすべての左）イデアルがひとつの冪等元によって生成されることである。 環がフォン・ノイマン正則である必要十分条件はすべての有限生成右（またはすべての有限生成左）イデアルがひとつの冪等元によって生成されることである。 環 R ≠ 0 が直既約（英語版）である必要十分条件は中心的冪等元が自明な冪等元のみであることである。 環が半完全環である必要十分条件は単位元が直交する局所冪等元の（有限）和へ分解できることである。 環が右直和成分に関して昇鎖条件を満たすことと左直和成分に関して降鎖条件を満たすこととどの2つも直交するような冪等元からなる各集合が有限であることは同値である。 すべての元が冪等元であるような環はブール環と呼ばれる。ブール環は可換で標数2である。 すべての部分集合 S の右零化イデアル r.Ann(S) がひとつの冪等元によって生成されるような環はBaer 環（英語版）と呼ばれる。条件がすべての一元部分集合に対してのみ成り立つならば、その環は右Rickart 環（英語版）と呼ばれる。これらの環は両方とも、乗法単位元をもたない場合でさえ興味深い。 すべての冪等元が中心的な環はアーベル環（Abelian ring）と呼ばれる。この環は可換とは限らない。 すべての冪等元がジャコブソン根基を法として持ち上がるときに SBI環 (SBI ring) あるいは Lift/rad ring と呼ばれる。 e が環 R の冪等元であれば、eRe は再び環になり、その乗法単位元は e である。環 eRe はしばしば R の corner ring と呼ばれる。corner ring は自己準同型環 EndR (eR) ≅ eRe によって自然に生じる。