冪指数の一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/22 09:36 UTC 版)
詳細は「モノイド環」を参照 簡単な一般化は、変数の肩に乗せる冪指数を取り出す集合を変えるだけで得られる。加法と乗法の公式は冪指数の加法 Xi⋅Xj = Xi+j が可能である限り意味を成す。この加法が意味を持つ（演算が閉じていて、結合的である）ような集合は加法的モノイドと呼ばれる。モノイド N から環 R への写像で、有限台をもつ（非零値であるような点が有限個である）もの全体の成す集合は環の構造を持つ。これを R[N] と表して、モノイド N の R に係数を持つモノイド環と呼ばれる。この環の加法は成分ごとの和で定義される。つまり c = a + b ならば各 n ∈ N に対し cn = an + bn を満たす。乗法はコーシー積として定義される。つまり c = a⋅b ならば各 n ∈ N に対し cn は、和が n であるような N の元の組 i, j 全てにわたる ai⋅bj の和である。 N が可換モノイドならば、R[N] における写像 a は形式和 ∑ n ∈ N a n X n {\textstyle \sum _{n\in N}a_{n}X^{n}} によって簡便に表すことができ、加法と乗法の定義式は見知った形の ( ∑ n ∈ N a n X n ) + ( ∑ n ∈ N b n X n ) = ∑ n ∈ N ( a n + b n ) X n , {\displaystyle {\Bigl (}\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}{\Bigr )}+{\Bigl (}\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}{\Bigr )}=\sum _{n\in N}(a_{n}+b_{n})X^{n},} ( ∑ n ∈ N a n X n ) ⋅ ( ∑ n ∈ N b n X n ) = ∑ n ∈ N ( ∑ i + j = n a i b j ) X n {\displaystyle {\Bigl (}\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}{\Bigr )}\cdot {\Bigl (}\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}{\Bigr )}=\sum _{n\in N}{\Bigl (}\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}{\Bigr )}X^{n}} に書くことができる。最後の和は、和が n であるような N の元の組 (i, j) の全てをわたるってとる。 Lang (2002) などではこのモノイドによる定義を出発点にとる。通常の一変数多項式環は N が非負整数全体が作るモノイド N であるような特別の場合である。多変数の多項式環は N として単に非負整数全体の成すモノイドのいくつかのコピーたちの直積モノイド Nn をとる。 環や群のいくつかの興味深い例が、N として非負有理数の成す可換モノイドをとることにより構成される。
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