冪指数が高階多項式の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/09 07:37 UTC 版)
「ガウス積分」の記事における「冪指数が高階多項式の場合」の解説
被積分函数の冪指数がもっと別の偶数次多項式に変わった場合も、級数解は容易に計算することができる。例えば四次多項式を冪指数とする指数函数の積分は ∫ − ∞ ∞ exp ( α x 4 + β x 3 + γ x 2 + δ x + ϵ ) d x = 1 2 exp ( ϵ ) ∑ n , m , p = 0 n + p = 0 mod 2 ∞ β n n ! γ m m ! δ p p ! Γ ( 3 n + 2 m + p + 1 4 ) exp ( 3 n + 2 m + p + 1 4 log ( − α ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }\exp(\alpha x^{4}+\beta x^{3}+\gamma x^{2}+\delta x+\epsilon )\,dx\\[5pt]&={\frac {1}{2}}\exp(\epsilon )\sum _{n,m,p=0 \atop n+p=0{\bmod {2}}}^{\infty }{\frac {\beta ^{n}}{n!}}\;{\frac {\gamma ^{m}}{m!}}\;{\frac {\delta ^{p}}{p!}}\;{\frac {\Gamma \left({\dfrac {3n+2m+p+1}{4}}\right)}{\exp \left({\dfrac {3n+2m+p+1}{4}}\log(-\alpha )\right)}}\end{aligned}}} (5.1) で表される。n + p = 0 mod 2 であることが要求されるのは、−∞ から 0 までの積分が各項に (−1)n + p/2 なる因子として寄与し、0 から +∞ までの積分が各項に 1/2 の因子として寄与することによる。これらの積分は場の量子論に属する話題である。
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