多項式の展開

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多項式の展開

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/10/22 08:14 UTC 版)

数学において多項式の展開（たこうしきのてんかい、英: polynomial expansion）とは、複数の多項式の積を一つの多項式で表すことをいう。これは因数分解と逆の操作である。式の見た目として括弧がなくなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、級数に対するものに自然に拡張される。

概要

分配法則

a(b + c) = ab + ac

を用いることで、多項式の積を一つの多項式で表すことが可能。まず、帰納法により、第二因子が n 個の項の和である場合の分配法則を得る。

a(b₁ + ⋯ + b_n) = ab₁ + ⋯ + ab_n

第一因子も複数の項の和である場合、すなわち

(a₁ + ⋯ + a_m)(b₁ + ⋯ + b_n)

については、次のように計算される。

1. 第一因子を A とおくと、A(b₁ + ⋯ + b_n) となる
2. 分配法則により、これは Ab₁ + ⋯ + Ab_n に等しい
3. この式の第 i 項は (a₁ + ⋯ + a_m)b_i であり、再び分配法則を用いると、これは a₁b_i + ⋯ + a_mb_i に等しい
4. よって、全体は (a₁b₁ + ⋯ + a_mb₁) + ⋯ + (a₁b_n + ⋯ + a_mb_n) に等しい

この結果を記号 ∑
を用いて書くならば

${\Bigl (}\sum _{i=1}^{m}a_{i}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\Bigr )}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{i}b_{j}$Category:多項式