項別積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 09:39 UTC 版)
| x 0 | < ∞ {\displaystyle \scriptstyle |x_{0}|<\infty } とし、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近展開を f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})} とする。定積分 Φ n ( x ) = ∫ x 0 x φ n ( t ) d t {\displaystyle \Phi _{n}(x)=\int _{x_{0}}^{x}\varphi _{n}(t)dt} が各 n に対して存在するならば、 F ( x ) = ∫ x 0 x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt} が存在して、 F ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k Φ k ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle F(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\Phi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})} が成立する。 x 0 = ∞ {\displaystyle \scriptstyle x_{0}=\infty } のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。例えば、漸近級数が漸近冪級数 f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k x k ( x → ∞ ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{x^{k}}}\ \ \ (x\to \infty )} を持つ場合、 ∫ x ∞ ( f ( t ) − a 0 − a 1 t ) d t ∼ ∑ k = 2 ∞ a k ( k − 1 ) x k − 1 ( x → ∞ ) {\displaystyle \int _{x}^{\infty }\left(f(t)-a_{0}-{\frac {a_{1}}{t}}\right)dt\sim \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {a_{k}}{(k-1)x^{k-1}}}\ \ \ (x\to \infty )} とする必要がある。
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