漸近級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/30 01:28 UTC 版)
ある種の関数の漸近級数あるいは漸近展開とは、定義域内の点における部分和がその関数のよい近似を与えるような無限級数をいう。漸近級数は、一般には必ずしも収束しないが、近似列として見れば有効であり、任意の有限項で打ち切った和の値があるべき「真の値」に近いものを与える。ただし、真の値がそのまま得られる収束級数とは異なり、漸近級数を利用するにはきちんと誤差を評価する必要がある。事実として典型的な漸近級数では、ある程度多くの項を加えて初めて「最適」な近似が得られるようになり、また一方で加える項の数が多くなりすぎると近似の精度が悪くなるという特徴が見られる。
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漸近級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 09:39 UTC 版)
関数 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} を定義域が実数の領域で定義された関数とし、 x 0 {\displaystyle x_{0}} を f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の定義域内の点とする。 関数列 { φ n ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}} が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。 φ n + 1 ( x ) = o ( φ n ( x ) ) ( x → x 0 ) ( n = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ (x\to x_{0})\ \ \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ldots )} 実数列 { a n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}} が存在して、任意の正整数 n に対し f ( x ) − ∑ k = 0 n a k φ k ( x ) = o ( φ n ( x ) ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ \ \ (x\to x_{0})} が成立するとき、 ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)} を f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近級数といい、 f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)} と表す。 さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という。 任意の正整数 n、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の定義域内の x に対して | f ( x ) − ∑ k = 0 n a k φ k ( x ) | < | a n + 1 φ n + 1 ( x ) | {\displaystyle \left|f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)\right|<|a_{n+1}\varphi _{n+1}(x)|} が成立する。 漸近関数列が { ( x − x 0 ) n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{(x-x_{0})^{n}\}_{n\geq 0}} ( | x 0 | < ∞ ) {\displaystyle \scriptstyle (|x_{0}|<\infty )} または { x − n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{x^{-n}\}_{n\geq 0}} ( | x 0 | = ∞ ) {\displaystyle \scriptstyle (|x_{0}|=\infty )} の形の漸近級数を、漸近冪級数という。 与えられた漸近関数列を用いて、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近級数を得ることを漸近展開といい、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近級数 ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)} が存在する場合、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} は漸近展開 f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)} を持つという。
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