項別微分とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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項別微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 09:39 UTC 版)

「漸近展開」の記事における「項別微分」の解説

一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。漸近関数列 { φ n ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}} は各 n に対して、 x 0 {\displaystyle x_{0}} の近傍で微分可能であり、関数列 { φ n ′ ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}} が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} は、 x 0 {\displaystyle x_{0}} の近傍で微分可能であり、 f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})} となる漸近展開を持ち、 f ′ ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f'(x)\!} が漸近関数列 { φ n ′ ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}} を用いて漸近展開することができるのであれば f ′ ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ′ ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f'(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi '_{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})} が成立する。

※この「項別微分」の解説は、「漸近展開」の解説の一部です。
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