ワトソンの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/18 03:04 UTC 版)
ワトソンの定理は、関数がその漸近級数のボレル総和になる条件を与える。f が次の条件を満たす関数であると仮定する。 ある正の定数 R と ε が存在して、領域 |z| < R、|arg(z)| < π/2 + ε 上で f が正則となる。 ある定数 C が存在して、上述の領域の任意の点 z で | f ( z ) − a 0 − a 1 z − ⋯ − a n − 1 z n − 1 | < C n + 1 n ! | z | n {\displaystyle \left\vert f(z)-a_{0}-a_{1}z-\cdots -a_{n-1}z^{n-1}\right\vert <C^{n+1}n!\left\vert z\right\vert ^{n}} を満たす漸近展開 a0 + a1z + … を持つ。 このとき、この領域で f は漸近級数のボレル和によって与えられるというのがワトソンの定理の主張である。より正確には、ボレル変換された級数が原点の近傍上で収束し、正の実軸に沿って解析接続可能であり、ボレル和（B）を定義する積分はこの領域で f(z) に収束する。 やや一般的には、f の漸近展開に対する誤差評価を n! から (kn)! に緩めても、領域の条件を |arg(z)| < kπ/2 + ε へ強めることで f(z) は決定できる。これは最良の評価であって、kπ/2 をより小さい数に置き換えた場合には反例が存在する。
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