ベルヌーイによる証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/18 08:29 UTC 版)
元々の証明は Bernoulli (1697) において与えられ、のちに現代的な証明が Dunham (2005) において与えられた。これらの証明の違いは項別積分 ∫ 0 1 x n ( log x ) n d x {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,\mathrm {d} x} の計算方法であり、このような（項別積分などの）過程の細かい差異を除けば同じである。上述の証明では置換積分によってガンマ関数を括りだす方法で計算をしているが、当時はまだガンマ関数は知られておらず、ベルヌーイは部分積分を繰り返し適用する方法で計算した。 再帰的な関係を明らかにするため二つの指数をそれぞれ別の文字で表し、次のように部分積分を行う（対数関数の原始関数の一覧を参照）。まず不定積分の計算から始めるが、積分定数 + C は定積分の計算の際に消えること、および元々の証明においても省略して計算が行われたことより以下省略する。 ∫ x m ( ln x ) n d x = x m + 1 ( ln x ) n m + 1 − n m + 1 ∫ x m + 1 ( ln x ) n − 1 x d x ( m ≠ − 1 ) = x m + 1 m + 1 ( ln x ) n − n m + 1 ∫ x m ( ln x ) n − 1 d x ( m ≠ − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}(\ln x)^{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m+1}{\frac {(\ln x)^{n-1}}{x}}\,\mathrm {d} x\qquad (m\neq -1)\\&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}(\ln x)^{n}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}\,\mathrm {d} x\qquad (m\neq -1)\end{aligned}}} これにより ln x の指数が 1 減る（n → n − 1）。ここで n は整数であるから、これを繰り返すと有限回で ln x の指数が 0 となり、単なる xm の積分となって終了する。ゆえにこの積分は次のような有限和となる。 ∫ x m ( ln x ) n d x = x m + 1 m + 1 ⋅ ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n ) i ( m + 1 ) i ( ln x ) n − i {\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(m+1)^{i}}}(\ln x)^{n-i}} ただし (n)i は下降階乗冪（ポッホハマー記号）である。 ここで m = n とし、どちらも整数であるとする。 ∫ x n ( ln x ) n d x = x n + 1 n + 1 ⋅ ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n ) i ( n + 1 ) i ( ln x ) n − i {\displaystyle \int x^{n}(\ln x)^{n}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(n+1)^{i}}}(\ln x)^{n-i}} 0 から 1 まで積分すると、右辺の和は最後の項を除いてすべて消滅し、次のようになる。 1 n ! ∫ 0 1 x n ( ln x ) n d x = 1 n ! 1 n + 1 n + 1 ( − 1 ) n ( n ) n ( n + 1 ) n = ( − 1 ) n ( n + 1 ) − ( n + 1 ) . {\displaystyle {\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}x^{n}(\ln x)^{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{n!}}{\frac {1^{n+1}}{n+1}}(-1)^{n}{\frac {(n)_{n}}{(n+1)^{n}}}=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.} 現代的な観点から言えば、これは（縮尺の違いを除いて）異なる積分区間で第二種オイラー積分の計算をしているのに等しい。第二種オイラー積分自体も上と似たような手続きで計算することができる。
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