ベルヌーイ多項式
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:33 UTC 版)
ナビゲーションに移動 検索に移動数学において、ベルヌーイ多項式（ベルヌーイたこうしき、英: Bernoulli polynomial）とは、多くの特殊関数の研究、特にリーマンのゼータ関数やフルヴィッツのゼータ関数の研究において現れる。これはベルヌーイ多項式列がアペル列、すなわち通常の微分に対するシェファー列であることによるところが大きい。直交多項式系とは異なり、ベルヌーイ多項式列は、単位区間における x 軸との交点の個数が多項式の次数が増えるにともない増えないという点に注目すべきである。ベルヌーイ多項式を適切に定数倍し次数を大きくした極限では、正弦・余弦関数に近づく。
また、この記事では、オイラー多項式、ベルヌーイ数、オイラー数についても解説する。
定義
ベルヌーイ多項式 Bn の定義の仕方は（同値なものが）いくつもある。そのうちのどれを定義とするかは、目的に応じて決めればよい。
明示公式
n ≥ 0 に対して、
ベルヌイ多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/28 02:24 UTC 版)
ベルヌイ多項式に対する乗法定理はヨーゼフ・ルートヴィヒ・ラーベが1851年に与えた。 k 1 − m B m ( k x ) = ∑ n = 0 k − 1 B m ( x + n / k ) {\displaystyle k^{1-m}B_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}B_{m}(x+n/k)} および、オイラー多項式に対して k − m E m ( k x ) = ∑ n = 0 k − 1 ( − 1 ) n E m ( x + n / k ) ( k = 1 , 3 , … ) {\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}E_{m}(x+n/k)\quad (k=1,3,\dotsc )} または k − m E m ( k x ) = − 2 m + 1 ∑ n = 0 k − 1 ( − 1 ) n B m + 1 ( x + n / k ) ( k = 2 , 4 , … ) {\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)={\frac {-2}{m+1}}\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}B_{m+1}(x+n/k)\quad (k=2,4,\dotsc )} となる。 ベルヌイ多項式はフルヴィッツゼータ函数の特別の場合として得られるから、これら等式もそれに関する等式から従う。
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