周期ゼータ函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/28 02:24 UTC 版)
周期ゼータ函数 (periodic zeta function) は F ( s ; q ) = ∑ m = 1 ∞ e 2 π i m q m s = Li s ( e 2 π i q ) {\displaystyle F(s;q)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi imq}}{m^{s}}}=\operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi iq})} と定義される。ここに Lis(z) はポリ対数函数である。倍数公式は 2 − s F ( s ; q ) = F ( s , q 2 ) + F ( s , q + 1 2 ) {\displaystyle 2^{-s}F(s;q)=F\!\!\left(s,{\frac {q}{2}}\right)+F\!\!\left(s,{\frac {q+1}{2}}\right)} で与えられる。要するにこれはベルヌイ作用素の固有値 2−s に属する固有ベクトルである。乗法定理は k − s F ( s ; k q ) = ∑ n = 0 k − 1 F ( s , q + n / k ) {\displaystyle k^{-s}F(s;kq)=\sum _{n=0}^{k-1}F(s,q+n/k)} と書ける。 周期ゼータ函数はフルヴィッツゼータ函数の反射公式において生じ、そのような理由から、この函数が従う関係式とフルビッツゼータの関係式は s → −s と置きかえる分だけの違いである。 ベルヌイ多項式は周期ゼータ函数の s を整数に近づける極限として得られるから、ベルヌイ多項式の乗法定理も上記の関係式から導くことができる。同様に q = log z と置けば、ポリ対数函数に対する乗法定理から導ける。
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