周期の変更
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 07:47 UTC 版)
以上に述べたフーリエ級数は、周期 2π の周期関数 f に対する定義だが、x = (π/L) y という変数変換により、周期 2L の周期関数 g(y) = f((π/L)y) の −L ≤ y ≤ L という区間での定義に変換でき、この形で扱われることも少なくない。 a n = 1 L ∫ − L L g ( s ) cos ( n π s L ) d s , ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ ) b n = 1 L ∫ − L L g ( s ) sin ( n π s L ) d s , ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) g ( y ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ( n π y L ) + b n sin ( n π y L ) ) c n = 1 2 L ∫ − L L g ( s ) exp ( − i n π s L ) d s , ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) g ( y ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n exp ( i n π y L ) = lim m → + ∞ ∑ n = − m m c n exp ( i n π y L ) {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={1 \over L}\int _{-L}^{L}g\left(s\right)\cos \left({n\pi s \over L}\right)ds,\left(n=0,1,2,3,\cdots \right)\\b_{n}&={1 \over L}\int _{-L}^{L}g\left(s\right)\sin \left({n\pi s \over L}\right)ds,\left(n=1,2,3,\cdots \right)\\g(y)&={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos \left({n\pi y \over L}\right)+b_{n}\sin \left({n\pi y \over L}\right)\right)\\c_{n}&={1 \over 2L}\int _{-L}^{L}g\left(s\right)\exp \left(-{in\pi s \over L}\right)ds,\left(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)\\g(y)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\exp \left({in\pi y \over L}\right)=\lim _{m\to +\infty }\sum _{n=-m}^{m}c_{n}\exp \left({in\pi y \over L}\right)\end{aligned}}}
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