反射公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/29 02:48 UTC 版)
バーンズの G-関数に対する差分方程式は、ガンマ関数の函数等式と合わせて、バーンズの G-関数の反射公式（英語版）（相反公式） log G ( 1 − z ) = log G ( 1 + z ) − z log 2 π + ∫ 0 z π x cot π x d x {\displaystyle \log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx} (1) を得るのに用いることができる（もともとはヘルマン・キンケリン（英語版）によって証明された）。右辺に現れる対数正接積分は（二次の）クラウセン関数（英語版）を用いると、 2 π log ( G ( 1 − z ) G ( 1 + z ) ) = 2 π z log ( sin π z π ) + Cl 2 ( 2 π z ) {\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)} と評価することができる。この結果の証明は、対数余接積分 Lc(z) の以下のような評価と dlog(sin πx)⁄dx = π⋅cot πx なる事実によるものである。部分積分により L c ( z ) = ∫ 0 z π x cot π x d x = z log ( sin π z ) − ∫ 0 z log ( sin π x ) d x = z log ( sin π z ) − ∫ 0 z [ log ( 2 sin π x ) − log 2 ] d x = z log ( 2 sin π z ) − ∫ 0 z log ( 2 sin π x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}Lc(z)&=\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\left[\log(2\sin \pi x)-\log 2\right]\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx\end{aligned}}} から、積分変数の置換 y = 2 π x ⟹ d x = d y / ( 2 π ) {\displaystyle \,y=2\pi x\implies dx=dy/(2\pi )\,} により z log ( 2 sin π z ) − 1 2 π ∫ 0 2 π z log ( 2 sin π y 2 ) d y {\displaystyle z\log(2\sin \pi z)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi z}\log \left(2\sin \pi {\frac {y}{2}}\right)\,dy} を得る。二次のクラウセン関数は積分表示 Cl 2 ( θ ) = − ∫ 0 θ log | 2 sin x 2 | d x {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx} を持つが、0 < θ < 2π なる区間では（積分内の「半正弦函数」の値域は真に正値であるから）被積分函数の絶対値は取り除けて、しかも真に非零である。この定義と、上記の対数正接積分に関する結果とを比較すれば、明らかに L c ( z ) = z log ( 2 sin π z ) + 1 2 π Cl 2 ( 2 π z ) {\displaystyle Lc(z)=z\log(2\sin \pi z)+{\frac {1}{2\pi }}\,{\text{Cl}}_{2}(2\pi z)} なる関係式が成り立つ。最後に項を並び替えて、 2 π log ( G ( 1 − z ) G ( 1 + z ) ) = 2 π z log ( sin π z π ) + Cl 2 ( 2 π z ) {\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+{\text{Cl}}_{2}(2\pi z)} とすれば証明は完了する。□ G ( 1 + z ) = Γ ( z ) G ( z ) {\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)\,} なる関係を使い、反射公式を 2 π {\displaystyle \,2\pi \,} で割れば、 log ( G ( 1 − z ) G ( z ) ) = z log ( sin π z π ) + log Γ ( z ) + 1 2 π Cl 2 ( 2 π z ) {\displaystyle \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}{\text{Cl}}_{2}(2\pi z)} もわかる。 反射式 (1) と同等の式に、ベルヌーイ多項式を用いた式 log ( G ( 1 2 + z ) G ( 1 2 − z ) ) = log Γ ( 1 2 − z ) + B 1 ( z ) log 2 π − 1 2 log 2 + π ∫ 0 z B 1 ( x ) tan π x d x {\displaystyle \log \left({\frac {G\left({\frac {1}{2}}+z\right)}{G\left({\frac {1}{2}}-z\right)}}\right)=\log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log 2+\pi \int _{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,dx} (2) がある。zを(1/2) − z''に置き換えるとこの式は上に等しい。
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