バーンズの G-関数

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バーンズのG関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/28 05:33 UTC 版)

数学において、バーンズの G-関数（バーンズのGかんすう、英: Barnes G-function）G(z) は、スーパー階乗を複素数にまで拡張した特殊関数 である。これはガンマ関数、K関数、グレイシャーの定数に関連するものであり、数学者であるエルンスト・ウィリアム・バーンズにちなみ名付けられた。 これは（初等函数を掛ける違いを除いて）二重ガンマ関数の特殊な場合である。

正式には、バーンズの G-関数は以下のワイエルシュトラスの乗積表示

$G(1+z)=(2\pi )^{z/2}{\text{exp}}\left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}{\text{exp}}\left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}$