函数等式および整数引数に対する挙動
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/29 02:48 UTC 版)
「バーンズのG関数」の記事における「函数等式および整数引数に対する挙動」の解説
バーンズの G-関数は、正規化条件 G(1) = 1 のもと以下の函数等式 G ( z + 1 ) = Γ ( z ) G ( z ) {\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)} を満たす。このバーンズ函数の満たす函数等式とガンマ函数の満たす函数等式 Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)} との類似性に注目せよ。この函数等式を用いることにより、バーンズ G が整数引数に対して以下の通り G ( n ) = { 0 if n = − 1 , − 2 , … ∏ i = 0 n − 2 i ! if n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{if }}n=0,1,2,\dots \end{cases}}} を値とすることが導かれる（特に、G(0) = G(1) = 1 が従う。またこれにより、 G ( n ) = ( Γ ( n ) ) n − 1 K ( n ) {\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}} がわかる。ただし Γ(x) はガンマ関数を、K はK関数を表す。上記の函数等式は、凸条件 d3/dx3G(x) ≥ 0 を追加すれば、一意にバーンズ G-函数を定義する。
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