数学 において、K関数 とは、ハイパー階乗 (hyperfactorial )の複素数 への一般化である。
定義 形式的には、K関数は
K
(
z
)
=
(
2
π
)
(
−
z
+
1
)
/
2
exp
[
(
z
2
)
+
∫
0
z
−
1
ln
(
t
!
)
d
t
]
{\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(t!)\,dt\right]}
のように定義される。これは、閉じた式としても表せ、
K
(
z
)
=
exp
[
ζ
′
(
−
1
,
z
)
−
ζ
′
(
−
1
)
]
{\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]}
となる。ここで、ζ'(z )はリーマンゼータ関数 の一階導関数 、ζ(a ,z )はフルヴィッツのゼータ関数 で、
ζ
′
(
a
,
z
)
=
d
e
f
[
d
ζ
(
s
,
z
)
d
s
]
s
=
a
{\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}}
である。また、ポリガンマ関数 を用いた別の式もある。[1]
K
(
z
)
=
exp
(
ψ
(
−
2
)
(
z
)
+
z
2
−
z
2
−
z
2
ln
(
2
π
)
)
{\displaystyle K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right)}
である。また、Balanced polygamma function を使って、[2]
K
(
z
)
=
A
e
ψ
(
−
2
,
z
)
+
z
2
−
z
2
{\displaystyle K(z)=Ae^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}}
とも書ける。ここで A はグレーシャーの定数 である。
K関数はガンマ関数 のときと同様に、スターリングの公式 の類似公式を持つ。
K
(
z
+
1
)
=
A
e
−
z
2
4
z
z
(
z
+
1
)
2
+
1
12
(
1
+
1
720
z
2
−
1433
7257600
z
4
+
1550887
15676416000
z
6
−
⋯
)
{\displaystyle K(z+1)=Ae^{-{\frac {z^{2}}{4}}}z^{{\frac {z(z+1)}{2}}+{\frac {1}{12}}}\left(1+{\frac {1}{720z^{2}}}-{\frac {1433}{7257600z^{4}}}+{\frac {1550887}{15676416000z^{6}}}-\cdots \right)}
K関数はガンマ関数 やバーンズのG関数 と密接な関連を持つ。正の実数nに対し、
K
(
n
)
=
(
Γ
(
n
)
)
n
−
1
G
(
n
)
{\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}}
のような関連がある。より明確に書けば、
K
(
n
+
1
)
=
1
1
2
2
3
3
⋯
n
n
{\displaystyle K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}}
が自然数nに対し成り立つということである。
数値 最初の数項の値は、
1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (オンライン整数列大辞典 の数列 A002109 ). となる。また、
K
(
1
2
)
{\displaystyle K({\tfrac {1}{2}})}
K
(
1
2
)
=
A
3
/
2
2
1
/
24
⋅
e
1
/
8
{\displaystyle K({\tfrac {1}{2}})={\frac {A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}}}
[3] のように表せる。ここで A はグレーシャーの定数である。
関係式 K関数とバーンズのG関数との積は次のようにかける。
K
(
z
)
⋅
G
(
z
)
=
exp
{
(
z
−
1
)
⋅
log
[
Γ
(
z
)
]
}
.
{\displaystyle K(z)\cdot G(z)=\exp \left\{(z-1)\cdot \log[\Gamma (z)]\right\}.}
ここで、
z
∈
C
,
z
∉
Z
∖
N
,
z
≠
0.
{\displaystyle z\in \mathbb {C} ,z\notin \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} ,z\neq 0.}
Benoit Cloitreは2003年、下の式を発表した。
1
K
(
n
+
1
)
=
(
−
1
)
n
det
|
−
1
−
1
−
1
⋯
−
1
1
2
1
4
1
8
⋯
1
2
n
−
1
3
−
1
9
−
1
27
⋯
−
1
3
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
(
−
1
)
n
n
(
−
1
)
n
n
2
(
−
1
)
n
n
3
⋯
(
−
1
)
n
n
n
|
{\displaystyle {\frac {1}{K(n+1)}}=(-1)^{n}\operatorname {det} {\begin{vmatrix}-1&-1&-1&\cdots &-1\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{8}}&\cdots &{\frac {1}{2^{n}}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{9}}&-{\frac {1}{27}}&\cdots &-{\frac {1}{3^{n}}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{3}}}&\cdots &{\frac {(-1)^{n}}{n^{n}}}\\\end{vmatrix}}}
参考文献 注釈 関連項目 外部リンク 
![K(z)=(2\pi)^{(-z+1)/2} \exp\left[\begin{pmatrix} z\\ 2\end{pmatrix}+\int_0^{z-1} \ln(t!)\,dt\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9705e35a5b5d6a6603abfdad0d08530ced118f)
![K(z)=\exp\left[\zeta^\prime(-1,z)-\zeta^\prime(-1)\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82fbdf9734f7e2a7e05c26bd0bf87f4423791115)
![\zeta^\prime(a,z)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left[\frac{d\zeta(s,z)}{ds}\right]_{s=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd98fa9b1b9f13b03256ca6abb6f132a840d3a5e)
![K(z)\cdot G(z) = \exp\left\{(z-1)\cdot \log [\Gamma (z)]\right\}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cf097b2c20f67ea5a0ae17503c9e5b7e3a0fcb)
