倍元公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/29 02:48 UTC 版)
ガンマ関数と同様にバーンズのG関数は引数の整数倍に関して以下の公式を有する。 G ( n z ) = K ( n ) n n 2 z 2 / 2 − n z ( 2 π ) − n 2 − n 2 z ∏ i = 0 n − 1 ∏ j = 0 n − 1 G ( z + i + j n ) {\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)} ここで K ( n ) {\displaystyle K(n)} は以下で与えられる。 K ( n ) = e − ( n 2 − 1 ) ζ ′ ( − 1 ) ⋅ n 5 12 ⋅ ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 = ( A e − 1 12 ) n 2 − 1 ⋅ n 5 12 ⋅ ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 . {\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.} ここで ζ ′ {\displaystyle \zeta ^{\prime }} はリーマンゼータ関数の導関数、 A {\displaystyle A} はグレイシャーの定数である。
※この「倍元公式」の解説は、「バーンズのG関数」の解説の一部です。
「倍元公式」を含む「バーンズのG関数」の記事については、「バーンズのG関数」の概要を参照ください。
- 倍元公式のページへのリンク
