周期的境界条件
周期境界条件
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/07 07:11 UTC 版)
「N体シミュレーション」の記事における「周期境界条件」の解説
無限に広い計算領域を実現することは不可能であるため、宇宙論的シミュレーションでは周期境界条件が採用される。通常、計算領域は立方体であり、その一片の長さを L {\displaystyle L} とするとき、座標 x {\displaystyle x} と x ± L {\displaystyle x\pm L} の点は同一視される。 周期境界条件のもとでは隣接する立方体に自らの構造のコピーが存在するため、それが及ぼす重力を考慮する必要がある。これは分子動力学法においてクーロン電場に対して開発されたエバルトの方法を適用することで可能であり、付近のボックスからの重力は直接計算し、遠方のボックスからの重力をフーリエ級数の形で取り入れることにより効率的に精度よく計算される。例えば、座標原点にある質量 m {\displaystyle m} の質点がつくる（規格化された）重力ポテンシャルは、周期境界条件のもとで Φ ^ ( t , x ) = − G m a ∑ n ∈ Z 3 e r f c ( α | x − n L | ) | x − n L | − G m π a L ∑ h ≠ 0 exp ( − π 2 | h | 2 α 2 L 2 ) 1 | h | 2 e i k h ⋅ x + G m a π α 2 L 3 {\displaystyle {\hat {\Phi }}(t,{\mathbf {x} })=-{\frac {Gm}{a}}\sum _{{\mathbf {n} }\in \mathbf {Z} ^{3}}{\frac {{\mathrm {erfc} \,}(\alpha |{\mathbf {x} }-{\mathbf {n} }L|)}{|{\mathbf {x} }-{\mathbf {n} }L|}}-{\frac {Gm}{\pi aL}}\sum _{{\mathbf {h} }\neq {\mathbf {0} }}\exp \left(-{\frac {\pi ^{2}|{\mathbf {h} }|^{2}}{\alpha ^{2}L^{2}}}\right){\frac {1}{|{\mathbf {h} }|^{2}}}e^{i{\mathbf {k} }_{\mathbf {h} }\cdot {\mathbf {x} }}+{\frac {Gm}{a}}{\frac {\pi }{\alpha ^{2}L^{3}}}} となる。ここに α {\displaystyle \alpha } は任意の正の定数、 e r f c {\displaystyle \mathrm {erfc} } は相補誤差関数である。
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