イジングによる完全解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/17 00:12 UTC 版)
「イジング模型」の記事における「イジングによる完全解」の解説
（周期的境界条件、または、自由境界条件）近接相互作用の場合、完全解が存在する。周期境界条件を持つ格子 L の上の 1次元イジングモデルのエネルギーは、 H ( σ ) = − J ∑ i = 1 , … , L σ i σ i + 1 − h ∑ i σ i {\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L}\sigma _{i}\sigma _{i+1}-h\sum _{i}\sigma _{i}} である。ここに J と h は、この単純化された場合には J は定数で近隣間の相互作用の強さを表し、h は格子に適用された定数の外場であるので、任意の数値で問題ない。従って、自由エネルギー(free energy）は、 f ( β , h ) = − lim L → ∞ 1 β L ln ( Z ( β ) ) = − 1 β ln ( e β J cosh β h + e 2 β J ( sinh β h ) 2 + e − 2 β J ) {\displaystyle f(\beta ,h)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln(Z(\beta ))=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left(e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}}\right)} であり、スピン-スピン相関函数は、 ⟨ σ i σ j ⟩ − ⟨ σ i ⟩ ⟨ σ j ⟩ = C ( β ) e − c ( β ) | i − j | {\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle -\langle \sigma _{i}\rangle \langle \sigma _{j}\rangle =C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}} である。ここに C(β) と c(β) は T > 0 の正の値の函数である。しかし、T → 0 とすると、逆の相関の長さ、c(β) は 0 となる。
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