輻射場のエネルギーと調和振動子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/05 20:18 UTC 版)
「レイリー・ジーンズの法則」の記事における「輻射場のエネルギーと調和振動子」の解説
「電磁場の量子化」も参照 輻射場で満たされた空洞炉内が電荷や電流が存在しない真空であるとする。このとき、電場と磁場は波動方程式を満たし、これは電磁波の伝播を記述する。この電磁波は、波数ベクトル k と偏光の2つの自由度 γ=1,2 で特徴付けられるモードに展開できる。このとき、電磁波のエネルギーは無限個の正準座標{Qk,γ}と正準運動量{Pk,γ}の組を用いて、調和振動子の集まりとして表すことができる。 電場と磁場は、ベクトルポテンシャルによって、記述することができる。クーロンゲージの条件(divA=0)を適用するとベクトルポテンシャル A(r,t) は波動方程式を満たし、 A ( r , t ) = ∑ k ( A k e i ( k ⋅ r − ω k t ) + A k ∗ e − i ( k ⋅ r − ω k t ) ) {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\sum _{\mathbf {k} }(\mathbf {A} _{\mathbf {k} }e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)}+\mathbf {A} _{\mathbf {k} }^{\ast }e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)})} と展開できる。但し、A(r,t) には周期境界条件を課したほか、 ω k = c | k | = c k {\displaystyle \omega _{k}=c|\mathbf {k} |=ck} とした。一方、空洞炉内の電磁波のエネルギーは電場 E(r,t)、磁場 B(r,t) によって U = 1 2 ∫ { ϵ 0 E 2 ( r , t ) + 1 μ 0 B 2 ( r , t ) } d 3 r = 2 ϵ 0 V ∑ k ω k 2 ( A k ⋅ A k ∗ ) {\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \left\{\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}(\mathbf {r} ,t)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}(\mathbf {r} ,t)\right\}d^{3}\mathbf {r} \\&=2\epsilon _{0}V\sum _{\mathbf {k} }\omega _{k}^{\,2}(\mathbf {A} _{\mathbf {k} }\cdot \mathbf {A} _{\mathbf {k} }^{\ast })\end{aligned}}} で与えられる。ここで実の正準変数 Qk(t), Pk(t) の組を Q k ( t ) = ϵ 0 V ( A k e − i ω k t + A k ∗ e i ω k t ) P k ( t ) = Q ˙ k ( t ) = − i ω k ϵ 0 V ( A k e − i ω k t − A k ∗ e i ω k t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Q} _{\mathbf {k} }(t)&={\sqrt {\epsilon _{0}V}}(\mathbf {A} _{\mathbf {k} }e^{-i\omega _{k}t}+\mathbf {A} _{\mathbf {k} }^{\ast }e^{i\omega _{k}t})\\\mathbf {P} _{\mathbf {k} }(t)&={\dot {\mathbf {Q} }}_{\mathbf {k} }(t)\\&=-i\omega _{\mathbf {k} }{\sqrt {\epsilon _{0}V}}(\mathbf {A} _{\mathbf {k} }e^{-i\omega _{k}t}-\mathbf {A} _{\mathbf {k} }^{\ast }e^{i\omega _{k}t})\end{aligned}}} で導入すると、U をこれらの正準変数で書き表したハミルトニアン H として H = ∑ k H k = ∑ k 1 2 ( P k 2 ( t ) + ω k 2 Q k 2 ( t ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}H&=\sum _{\mathbf {k} }H_{\mathbf {k} }\\&=\sum _{\mathbf {k} }{\frac {1}{2}}(\mathbf {P} _{\mathbf {k} }^{\,2}(t)+\omega _{k}^{\,2}\mathbf {Q} _{\mathbf {k} }^{\,2}(t))\end{aligned}}} が得られる。Hk は調和振動子のハミルトニアンそのものである。 クーロンゲージの条件から波数ベクトル k は Ak と垂直である。 k に垂直で、互いに直交する2つの単位ベクトル ek,1, ek,2 を取れば、Akは A k = ∑ γ = 1 , 2 A k , γ e k , γ {\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {k} }=\sum _{\gamma =1,2}A_{\mathbf {k} ,\gamma }\mathbf {e} _{\mathbf {k} ,\gamma }} と偏光の2自由度に対応する形に展開できる。Qk(t), Pk(t)についても、同様に ek,γで展開できる。その係数を Qk,γ(t), Pk,γ(t) とすれば、これらも正準変数である。ハミルトニアンは最終的に H = ∑ k , γ H k , γ = ∑ k , γ 1 2 ( P k , γ 2 ( t ) + ω k 2 Q k , γ 2 ( t ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}H&=\sum _{\mathbf {k} ,\gamma }H_{\mathbf {k} ,\gamma }\\&=\sum _{\mathbf {k} ,\gamma }{\frac {1}{2}}(P_{\mathbf {k} ,\gamma }^{\,2}(t)+\omega _{k}^{\,2}Q_{\mathbf {k} ,\gamma }^{\,2}(t))\end{aligned}}} となるが、これは波数ベクトル k と偏光の2つの自由度 γ=1,2 で特徴付けられる調和振動子の集まりである。
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