電場と磁場
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 08:15 UTC 版)
「ジェフィメンコ方程式」の記事における「電場と磁場」の解説
真空中に電荷密度 ρ {\displaystyle \rho } と電流密度 J {\displaystyle {\boldsymbol {J}}} が、時刻 t {\displaystyle t} と位置 r = ( x , y , z ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(x,y,z)} の関数として与えられた場合を考える。また、以下の仮定を課すことにする。 電荷密度 ρ ( r , t ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}},t)} 及び電流密度 J ( r , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {r}},t)} が r , t {\displaystyle {\boldsymbol {r}},t} のみの関数である（自分自身の作り出す電場や磁場の影響を受けない）。 前記の電流密度と電荷密度以外に、電場、磁場を生み出すものが存在しない 電荷密度と電流密度は、無限の過去では0に収束する 電荷密度と電流密度は、無限遠では0に収束する 電荷密度と電流密度は、自由空間に配置されている（境界のない時空間を仮定している） 時空因果律が成り立つ このとき、電場 E {\displaystyle {\boldsymbol {E}}} は、以下の式（時間依存がある場合のクーロンの法則）で与えられる。 E ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V [ ( ρ ( s , t − ) | r − s | 3 + 1 | r − s | 2 c ∂ ρ ( s , t − ) ∂ t ) ( r − s ) − 1 | r − s | c 2 ∂ J ( s , t − ) ∂ t ] d 3 s . {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\int }_{\boldsymbol {V}}\left[\left({\frac {\rho ({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{3}}}+{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{2}c}}{\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{\partial t}}\right)({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})-{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|c^{2}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}.} また、磁束密度 B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}} は、以下の式（時間依存がある場合のビオ・サバールの法則）で与えられる。 B ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ V [ J ( s , t − ) | r − s | 3 + 1 | r − s | 2 c ∂ J ( s , t − ) ∂ t ] × ( r − s ) d 3 s . {\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\boldsymbol {V}}\left[{\frac {{\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{3}}}+{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{2}c}}{\frac {\partial {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{\partial t}}\right]\times ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}.} 上記の二式を総称し、ジェフィメンコ方程式と言う。 ここで、t− は、遅滞時間を表し、以下の式で与えられる。 t − ≡ t − | r − s | c . {\displaystyle t_{-}\equiv t-{\frac {|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}{c}}.} また、 ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} は真空の誘電率 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} は真空の透磁率 c {\displaystyle c} は光速度 d 3 s {\displaystyle \mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}} は微小体積要素 を表す。 同様の式が、 D {\displaystyle D} や H {\displaystyle H} に対しても導くことができる.
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