電場および磁場の波動方程式の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/09 03:05 UTC 版)
「電磁波」の記事における「電場および磁場の波動方程式の導出」の解説
電場の波動方程式は、電磁誘導則の式について両辺の回転を取り： ∇ × ( ∇ × E → ) = − ∇ × ∂ B → ∂ t {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-\nabla \times {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}} さらに電荷0および電流０の条件を加えることで導出可能である（誘電率や透磁率を変化させることで事実上同じ式に行き着く場合もあり、そのような場合には定数を異なる値にすることで同様に議論できる）。 前式の左辺は ∇ × ( ∇ × E → ) = ∇ ( ∇ ⋅ E → ) − ∇ 2 E → {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {E}})-\nabla ^{2}{\vec {E}}} と変形できる。さらに電荷0すなわち ∇ ⋅ E → = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}=0} であるため − ∇ 2 E → {\displaystyle -\nabla ^{2}{\vec {E}}} が残る。 いっぽう、最初の式の右辺については、 − ∇ × ∂ B → ∂ t = − ∂ ∂ t ( ∇ × B → ) = − ∂ ∂ t ( μ 0 j → + 1 c 2 ∂ ∂ t E → ) {\displaystyle -\nabla \times {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\vec {B}})=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {E}})} のように変形可能で、電流0すなわち j → = 0 {\displaystyle {\vec {j}}=0} により − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 E → {\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {E}}} が残る。 これらをまとめることで電場の波動方程式、 ( 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 ) E → = 0 {\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right){\vec {E}}=0} が得られる（磁場に対しても同様の式が導出可能である）。 このような波動方程式の解は一般的に E → ( x → , t ) = ∫ d k → E ~ → ( k → ) e i ( ω t − k → ⋅ x → ) {\displaystyle {\vec {E}}({\vec {x}},t)=\int d{\vec {k}}{\vec {\tilde {E}}}({\vec {k}})e^{i(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}})}} のように構成される。 波数ベクトルを固定した各々の成分だけ考えれば、どれだけ遠方に伝播しようが全く減衰しないし、逆に強くなることもないことがわかる。また、この構成によって「調和振動子の集まりである」と言える。
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