波動方程式の解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:24 UTC 版)
再び、Ω を（自然数 n に対する）空間 ℝn の部分領域とし（有界であるかは問わない）、その滑らかな境界を Γ とする。T > 0 に対して、 Ω × ( 0 , T ) {\displaystyle \Omega \times (0,T)} 上の次の波動方程式を考える： u t t − Δ u = 0 in Ω × ( 0 , T ) , u = 0 on Γ × ( 0 , T ) . {\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{tt}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T).\end{array}}} ここで Ω {\displaystyle \Omega } 内の初期条件として、 u(0) = u1,0 と、 u t ( 0 ) = u 2 , 0 {\displaystyle u_{t}(0)=u^{2,0}} を考える。 上述の熱方程式の場合と同様の半群の手法を利用する。波動方程式を時間について一階の偏微分方程式に書き換えるために、 H = H 0 1 ( Ω ) × L 2 ( Ω ) {\displaystyle H=H_{0}^{1}(\Omega )\times L^{2}(\Omega )} 上の次の非有界作用素 A = ( 0 I d Δ D 0 ) {\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\begin{array}{cc}0&Id\\\Delta _{D}&0\end{array}}\right)} を導入する。ただし定義域は D ( A ) = H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) × H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )} とする（作用素 Δ D {\displaystyle \Delta _{D}} は前の例で定義されたものと同様である）。 列ベクトル U = ( u 1 u 2 ) {\displaystyle U=\left({\begin{array}{c}u^{1}\\u^{2}\end{array}}\right)} （ただし u 1 = u {\displaystyle u^{1}=u} および u 2 = u t {\displaystyle u^{2}=u_{t}} ）と、 U 0 = ( u 1 , 0 u 2 , 0 ) {\displaystyle U^{0}=\left({\begin{array}{c}u^{1,0}\\u^{2,0}\end{array}}\right)} を導入する。このとき、波動方程式は U ′ ( t ) = A U ( t ) {\displaystyle U'(t)={\mathcal {A}}U(t)} および U ( 0 ) = U 0 {\displaystyle U(0)=U^{0}} に書き換えることが出来る。 したがって、この方程式に対応するフローは φ ( U 0 , t ) = e t A U 0 {\displaystyle \varphi (U^{0},t)={\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}U^{0}} である。ただし e t A {\displaystyle {\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}} は A {\displaystyle {\mathcal {A}}} によって生成される（ユニタリ）半群である。
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