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波動方程式の解法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/11/18 16:11 UTC 版)

「固有振動」の記事における「波動方程式の解法」の解説

波動方程式を解くために、変数分離法を用いる。関数y(x,t)がxの関数X(x)とtの関数T(t)の積の形で表されると仮定して y ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) {\displaystyle y(x,t)=X(x)T(t)} … (3-5) とおく。(3-5)を(3-4)に代入して整理し、両辺をX(x)T(t)でわると 1 X ( x ) ∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 = 1 v 2 T ( t ) ∂ 2 T ( t ) ∂ t 2 {\displaystyle {1 \over {X(x)}}{\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}={1 \over {v^{2}T(t)}}{\frac {{\partial }^{2}T(t)}{\partial t^{2}}}} … (3-6) このとき左辺はxのみの関数、右辺はtのみの関数であり、xとtは独立変数である。両辺が等しいということは両辺の値が定数であるということになる。この定数をKとおくと(3-6)から ∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 − K X ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}-KX(x)=0} … (3-7) ∂ 2 T ( t ) ∂ t 2 − K v 2 T ( t ) = 0 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}T(t)}{\partial t^{2}}}-Kv^{2}T(t)=0} … (3-8) と書きかえられる。 xについての方程式 ∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 − K X ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}-KX(x)=0} … (3-7)を解く。 ⅰ)K＝0のとき ∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}=0} となる。この微分方程式の一般解は X ( x ) = a x + b {\displaystyle X(x)=ax +b} である。 ⅱ)K>0のとき実数の定数k用いて K = k 2 {\displaystyle K=k^{2}} とすると ∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 − k 2 X ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}-k^{2}X(x)=0} … (3-9) と表される。ここで X ( x ) = e α x {\displaystyle X(x)=e^{\alpha x}} とおくと、 ∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 = α 2 e α x {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}={\alpha }^{2}e^{\alpha x}} なので(3-9)は ( α 2 − k 2 ) X ( x ) = 0 {\displaystyle ({\alpha }^{2}-k^{2})X(x)=0} と書きかえられる。X(x)は任意の関数であるから α 2 − k 2 = 0 {\displaystyle {\alpha }^{2}-k^{2}=0} を考える。つまり α = ± k {\displaystyle \alpha =\pm k} である。したがって解は X ( x ) = e k x {\displaystyle X(x)=e^{kx}} と X ( x ) = e − k x {\displaystyle X(x)=e^{-kx}} であり、またその線形結合の X ( x ) = C 1 e k x + C 2 e − k x {\displaystyle X(x)=C_{1}e^{kx}+C_{2}e^{-kx}} も解である。 k = K {\displaystyle k={\sqrt {K}}} から X ( x ) = C 1 e K x + C 2 e − K x ( C 1 , C 2 {\displaystyle X(x)=C_{1}e^{{\sqrt {K}}x}+C_{2}e^{-{\sqrt {K}}x}\quad (C_{1},C_{2}} は定数) ⅲ)K<0のとき実数の定数k用いて K = − k 2 {\displaystyle K=-k^{2}} とすると ∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 + k 2 X ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}+k^{2}X(x)=0} … (3-10) と表される。ここで X ( x ) = e α x {\displaystyle X(x)=e^{\alpha x}} とおくと、 ∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 = α 2 e α x {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}={\alpha }^{2}e^{\alpha x}} なので(3-10)は ( α 2 + k 2 ) X ( x ) = 0 {\displaystyle ({\alpha }^{2}+k^{2})X(x)=0} と書きかえられる。X(x)は任意の関数であるから α 2 + k 2 = 0 {\displaystyle {\alpha }^{2}+k^{2}=0} を考える。つまり α = ± i k {\displaystyle \alpha =\pm ik} である。したがって解は X ( x ) = e i k x {\displaystyle X(x)=e^{ikx}} と X ( x ) = e − i k x {\displaystyle X(x)=e^{-ikx}} であり、またその線形結合の X ( x ) = C 1 e i k x + C 2 e − i k x {\displaystyle X(x)=C_{1}e^{ikx}+C_{2}e^{-ikx}} も解である。 k = − K {\displaystyle k={\sqrt {-K}}} から X ( x ) = C 1 e i − K x + C 2 e − i − K x ( C 1 , C 2 {\displaystyle X(x)=C_{1}e^{i{\sqrt {-K}}x}+C_{2}e^{-i{\sqrt {-K}}x}\quad (C_{1},C_{2}} は定数) オイラーの公式を適用すると X ( x ) = C 1 ( cos ⁡ − K x + i sin ⁡ − K x ) + C 2 ( cos ⁡ − K x − i sin ⁡ − K x ) = C 3 cos ⁡ − K x + C 4 sin ⁡ − K x {\displaystyle X(x)=C_{1}(\cos {{\sqrt {-K}}x}+i\sin {{\sqrt {-K}}x})+C_{2}(\cos {{\sqrt {-K}}x}-i\sin {{\sqrt {-K}}x})=C_{3}\cos {{\sqrt {-K}}x}+C_{4}\sin {{\sqrt {-K}}x}} ( C 3 = C 1 + C 2 , C 4 = i C 1 − i C 2 {\displaystyle C_{3}=C_{1}+C_{2},C_{4}=iC_{1}-iC_{2}} はそれぞれ定数) ⅰ)～ⅲ)から K=0のとき… X ( x ) = a x + b {\displaystyle X(x)=ax+b} … (3-11) K>0のとき… X ( x ) = C 1 e K x + C 2 e − K x {\displaystyle X(x)=C_{1}e^{{\sqrt {K}}x}+C_{2}e^{-{\sqrt {K}}x}} … (3-12) K<0のとき… X ( x ) = C 3 cos ⁡ − K x + C 4 sin ⁡ − K x {\displaystyle X(x)=C_{3}\cos {{\sqrt {-K}}x}+C_{4}\sin {{\sqrt {-K}}x}} … (3-13) 両端固定の長さ l {\displaystyle l} の弦について考えると、両端固定による条件は y ( 0 , t ) = 0 {\displaystyle y(0,t)=0} and y ( l , t ) = 0 {\displaystyle y(l,t)=0} … (3-14) (3-11)に条件(3-14)を与えると X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} (3-12)に条件(3-14)を与えると X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} (3-13)に条件(3-14)を与えると X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} or X ( x ) = C 4 sin ⁡ n π x l {\displaystyle X(x)=C_{4}\sin {n\pi x \over l}} X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} は弦が振動していない様子を表すので、振動する弦の解は X ( x ) = C 4 sin ⁡ n π x l ( n = 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle X(x)=C_{4}\sin {n\pi x \over l}\quad (n=1,2,3,\ldots )} … (3-15) である。 tについての方程式 ∂ 2 T ( t ) ∂ t 2 − K v 2 T ( t ) = 0 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}T(t)}{\partial t^{2}}}-Kv^{2}T(t)=0} … (3-8)を解く。xについての微分方程式を解いたとき、導いた解はK<0のときであった。よってここでもK<0のときのみを考える。実数の定数kを用いて K = − k 2 {\displaystyle K=-k^{2}} とすると(3-8)は ∂ 2 T ( t ) ∂ t 2 = − k 2 v 2 T ( t ) {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}T(t)}{\partial t^{2}}}=-k^{2}v^{2}T(t)} … (3-16) と表される。この2階微分方程式を解くと一般解は T ( t ) = C 5 sin ⁡ ( ω n t + ϕ n ) {\displaystyle T(t)=C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} … (3-17) となる。ただし、 C 5 {\displaystyle C_{5}} , ω n {\displaystyle \omega _{n}} , ϕ n {\displaystyle \phi _{n}} は定数で、 ω n = k v = n π v l {\displaystyle \omega _{n}=kv={n\pi v \over l}} である。 (3-15)、(3-17)から y n ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) = C 4 sin ⁡ n π x l C 5 sin ⁡ ( ω n t + ϕ n ) = A n sin ⁡ n π x l sin ⁡ ( ω n t + ϕ n ) ( n = 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle y_{n}(x,t)=X(x)T(t)=C_{4}\sin {n\pi x \over l}C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})=A_{n}\sin {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})\quad (n=1,2,3,\ldots )} … (3-18) また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は y ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ A n sin ⁡ n π x l sin ⁡ ( ω n t + ϕ n ) {\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} … (3-19)

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