両端が開口の管の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/11/18 16:11 UTC 版)
ここでは開口で実際に生じる開口端補正を無視して解きすすめる。両端が開口で長さ l {\displaystyle l} の管について考えると、両端開口による条件は ∂ y ( 0 , t ) ∂ x = 0 {\displaystyle {\partial y(0,t) \over \partial x}=0} and ∂ y ( l , t ) ∂ x = 0 {\displaystyle {\partial y(l,t) \over \partial x}=0} … (4-15) である。(4-7)に条件(4-15)を与えると X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} (4-8)に条件(4-15)を与えると X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} (4-9)に条件(4-15)を与えると X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} or X ( x ) = C 3 cos n π x l {\displaystyle X(x)=C_{3}\cos {n\pi x \over l}} X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} は気柱が振動していない様子を表すので、振動する気柱の解は X ( x ) = C 3 cos n π x l ( n = 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle X(x)=C_{3}\cos {n\pi x \over l}\quad (n=1,2,3,\ldots )} … (4-16) である。また、「弦に関する波動方程式の解法」と同様にしてtについての方程式を解くと、 T ( t ) = C 5 sin ( ω n t + ϕ n ) {\displaystyle T(t)=C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} … (4-17) となる。ただし、 C 5 {\displaystyle C_{5}} , ω n {\displaystyle \omega _{n}} , ϕ n {\displaystyle \phi _{n}} は定数で、 ω n = k v = n l π v {\displaystyle \omega _{n}=kv={n \over l}\pi v} である。したがって y n ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) = C 3 cos n π x l C 5 sin ( ω n t + ϕ n ) = A n cos n π x l sin ( ω n t + ϕ n ) ( n = 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle y_{n}(x,t)=X(x)T(t)=C_{3}\cos {n\pi x \over l}C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})=A_{n}\cos {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})\quad (n=1,2,3,\ldots )} … (4-18) また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は y ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ A n cos n π x l sin ( ω n t + ϕ n ) {\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} … (4-19)
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