太鼓 の表面における固有振動
固有振動 (こゆうしんどう、英語 : characteristic vibration, normal mode )とは、ある系 が自由振動を行う際に現れる、いくつかの特定の振動形式のことである[ 1] 。固有振動の振動数 を固有振動数という。
代表的な振動系の固有振動
ばね‐質量系の固有振動
ばね‐質量系の振動
質量mの物体を一端を固定したばね定数k のばねの他端に取り付けて、摩擦の無い水平面上に置く。
右向きを正にx 軸をとり、ばねが自然長の時の物体の位置を0とする。
物体を正の向きに移動させるとばねが伸び、負の向きに移動させるとばねは縮む。
いずれもばねはフックの法則 に従うため、物体の変位をx 、物体がばねから受ける力をF とすると
F
=
−
k
x
{\displaystyle F=-kx}
単振り子の様子
単振り子 は微小振動をしているとき水平面内で単振動 をしているとみなすことができる。おもり(質点とみなす)の質量をm、糸の長さをℓとする。糸が鉛直線となす角度θが十分小さいとき、水平方向にx軸をとると変位は
x
=
l
sin
θ
≈
l
θ
{\displaystyle x=l\sin \theta \approx l\theta }
n=1のとき第1調和振動
n=2のとき第2調和振動
n=3のとき第3調和振動
またこの系における固有角振動数は
ω
n
=
n
π
v
l
=
n
π
l
T
ρ
{\displaystyle \omega _{n}={n\pi v \over l}={n\pi \over l}{\sqrt {T \over \rho }}}
振動する弦の微小部分
波動方程式の導出
線密度ρ(kg/m)で張力T(N)で引っ張られている弦がXY平面上にあるとする。その弦のxとx+δxの微小部分について考える。位置xにおける弦の接線とx軸のなす角を
θ
x
{\displaystyle \theta _{x}}
気柱の変位
この円筒の中のxとx+δxの微小部分について考える。空気が振動していないとき微小部分の体積はV=Sδxである。空気が振動したときの体積の変化は
δ
V
=
S
(
y
(
x
+
δ
x
,
t
)
−
y
(
x
,
t
)
)
{\displaystyle \delta V=S(y(x+\delta x,t)-y(x,t))}
気柱にはたらく圧力
空気の断面にはそれぞれ圧力がはたらいている。xにおける断面にはたらく力は
F
x
=
S
(
P
0
+
δ
P
(
x
,
t
)
)
{\displaystyle F_{x}=S(P_{0}+\delta P(x,t))}
出典は列挙するだけでなく、脚注 などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。(2023年3月 )
N.H.フレッチャー、T.D.ロッシング編著『楽器の物理学』岸憲史・久保田秀美・吉川茂訳。 - 原タイトル:The Physics of Musical Instruments
マッカリー・サイモン編著『物理化学(上)』千原秀昭・江口太郎・齋藤一弥訳。
気柱の振動
関連項目