一端が閉口で他端が開口の管の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/11/18 16:11 UTC 版)
「固有振動」の記事における「一端が閉口で他端が開口の管の場合」の解説
ここでは開口で実際に生じる開口端補正を無視して解きすすめる。左端が閉口で右端が開口な長さ l {\displaystyle l} の管について考えると、左端が閉口による条件は y ( 0 , t ) = 0 {\displaystyle y(0,t)=0} 、右端が開口による条件は P ( l , t ) = 0 {\displaystyle P(l,t)=0} つまり ∂ y ( l , t ) ∂ x = 0 {\displaystyle {\partial y(l,t) \over \partial x}=0} 。したがって管の満たすべき条件は y ( 0 , t ) = 0 {\displaystyle y(0,t)=0} and ∂ y ( l , t ) ∂ x = 0 {\displaystyle {\partial y(l,t) \over \partial x}=0} … (4-10) である。(4-7)に条件(4-10)を与えると X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} (4-8)に条件(4-10)を与えると X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} (4-9)に条件(4-10)を与えると X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} or X ( x ) = C 4 sin ( 2 n − 1 ) π x 2 l {\displaystyle X(x)=C_{4}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}} X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} は気柱が振動していない様子を表すので、振動する気柱の解は X ( x ) = C 4 sin ( 2 n − 1 ) π x 2 l ( n = 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle X(x)=C_{4}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}\quad (n=1,2,3,\ldots )} … (4-11) である。また、「弦に関する波動方程式の解法」と同様にしてtについての方程式を解くと、 T ( t ) = C 5 sin ( ω n t + ϕ n ) {\displaystyle T(t)=C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} … (4-12) となる。ただし、 C 5 {\displaystyle C_{5}} , ω n {\displaystyle \omega _{n}} , ϕ n {\displaystyle \phi _{n}} は定数で、 ω n = k v = ( 2 n − 1 ) 2 l π v {\displaystyle \omega _{n}=kv={(2n-1) \over 2l}\pi v} である。したがって y n ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) = C 4 sin ( 2 n − 1 ) π x 2 l C 5 sin ( ω n t + ϕ n ) = A n sin ( 2 n − 1 ) π x 2 l sin ( ω n t + ϕ n ) ( n = 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle y_{n}(x,t)=X(x)T(t)=C_{4}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})=A_{n}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})\quad (n=1,2,3,\ldots )} … (4-13) また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は y ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ A n sin ( 2 n − 1 ) π x 2 l sin ( ω n t + ϕ n ) {\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} … (4-14)
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