非有界作用素とは? わかりやすく解説

非有界作用素

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/01/05 14:35 UTC 版)

数学の、特に関数解析作用素論の分野における非有界作用素(ひゆうかいさようそ、英語: unbounded operator)は、位相線型空間のあいだの線型写像で不連続であること・全体では定義されていないことを許したようなものである。幾何学における微分作用素量子力学における非有界オブザーバブルなどを扱うための抽象的な基礎付けをあたえるのに用いられる。


  1. ^ von Neumann, J. (1929–1930), “Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Functionaloperatoren”, Math. Ann. 102: 49–131, doi:10.1007/BF01782338 
  2. ^ Stone, M. (1932), “Linear transformations in Hilbert spaces and their applications to analysis”, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. (New York) 15 
  3. ^ von Neumann (1936), “Über Adjungierte Funktionaloperatoren”, Ann. Math. (2) 33 (2): 294–310, doi:10.2307/1968331, JSTOR 1968331, https://jstor.org/stable/1968331 
  4. ^ a b c Pedersen 1989, 5.1.1
  5. ^ a b c d Pedersen 1989, 5.1.4
  6. ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996, page 5
  7. ^ fjT の定義域上の列で gB1 へと収束するものとする。T はその定義域上で一様連続であるため、TfjB2 内のコーシー列である。したがって (fj, Tfj) もコーシー列であり、T のグラフが閉であることから、これはある (f, Tf) へと収束する。したがって f = g であり T の定義域は閉である。
  8. ^ a b c d Pedersen 1989, 5.1.12
  9. ^ 測度の台が[0, 1] 全体なのでC1級や連続な関数はL2[0, 1]の部分空間と見なせる。
  10. ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996, Example 3.2 on page 16
  11. ^ Reed & Simon 1980, page 252
  12. ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996, Example 3.1 on page 15
  13. ^ 証明: 閉であるため、至る所定義されている T は有界である。これはT を含む T∗∗ の有界性を導く。至る所定義されている T の場合として、(Pedersen 1989, 2.3.11) を参照されたい
  14. ^ a b c d e Pedersen 1989, 5.1.5
  15. ^ 証明: であるため、もし が有界であるなら、その共役 も有界である。
  16. ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996, page 12
  17. ^ 証明: もし T が稠密に定義された閉作用素であるなら、T は稠密に定義されている。したがって、T∗∗ が存在する。T のグラフは T∗∗ のグラフにおいて稠密であるため、T = T∗∗ が成立する。逆を考える。T∗∗ の存在は T の存在を意味し、これは T が稠密に定義されていることを意味する。T∗∗ は閉であるため、T は稠密に定義された閉作用素である。
  18. ^ Brezis, pp. 28.
  19. ^ Yoshida, pp. 200.
  20. ^ Yoshida, pp. 195.
  21. ^ Pedersen 1989, 5.1.11
  22. ^ Yoshida, pp. 193.
  23. ^ Yoshida, pp. 196.
  24. ^ a b c d e f Pedersen 1989, 5.1.3
  25. ^ a b Reed & Simon 1980, page 256
  26. ^ a b Pedersen 1989, 5.1.16
  27. ^ a b c Reed & Simon 1980, Example on pages 257-259
  28. ^ (Pedersen 1989, 5.1.5)および共役作用素の定義から従う。
  29. ^ Pedersen 1989, 5.2.5
  30. ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996, page 25
  31. ^ Pedersen 1989, 5.1.9
  32. ^ Pedersen 1989, 5.3.8
  33. ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996, page 89
  34. ^ Pedersen 1989, 5.3.19
  35. ^ Reed & Simon 1980, Example 5 on page 254
  36. ^ Pedersen 1989, 5.2.12
  37. ^ Reed & Simon 1980, page 84
  38. ^ a b c Reed & Simon 1980, page 250
  39. ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996, pages 6,7
  40. ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996, page 7
  41. ^ Reed & Simon 1980, page 253
  42. ^ a b Pedersen 1989, 5.1.6
  43. ^ Pedersen 1989, 5.1.2
  44. ^ Pedersen 1989, 5.2.6
  45. ^ Reed & Simon 1980, page 257
  46. ^ Reed & Simon 1980, pages 255, 256



非有界作用素

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/12/13 01:23 UTC 版)

ヒルベルト空間」の記事における「非有界作用素」の解説

ヒルベルト空間においては非有界作用素もある程度きれいに扱うことができ、量子力学にも重要な応用を持つ。ヒルベルト空間 H 上の非有界作用素 T は、その定義域 D(T) が H の線型部分空間あるよう線型作用素であるものとして定義される定義域が H の稠密な部分集合となることもよくあり、そのような作用素 T は密定義作用素呼ばれる。 密定義非有界作用素の随伴は、本質的に有界作用素場合と同じ方法定義される自己随伴非有界作用素は量子力学の数学的基礎において可観測量役割を持つ。ヒルベルト空間 H = L2(R) 上の自己随伴非有界作用素の例としては、 微分作用素適当な拡張 ( A f ) ( x ) = i d d x f ( x ) , {\displaystyle (Af)(x)=i{\frac {d}{dx}}f(x),} ただし、i は虚数単位、f は台がコンパクトな可微分関数。 x による掛け算作用素 ( B f ) ( x ) = x f ( x ) . {\displaystyle (Bf)(x)=xf(x).} などが挙げられる。これらはそれぞれ運動量位置可観測量対応する。この A も B も H の全域定義されてはいないことに注意すべきである。A の場合微分存在しないものがあること、B の場合は x が掛けられ関数自乗可積分とは限らないことがその理由である。何れの場合にも、引数にとり得る関数全体の成す集合は H の稠密な部分集合になる。

※この「非有界作用素」の解説は、「ヒルベルト空間」の解説の一部です。
「非有界作用素」を含む「ヒルベルト空間」の記事については、「ヒルベルト空間」の概要を参照ください。

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