定義と基本性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/05 14:35 UTC 版)
B1 および B2 をバナッハ空間とする。非有界作用素（あるいは単純に、作用素）T : B1 → B2 とは、B1 の線型部分空間 D(T) （すなわち、T の定義域）から空間 B2 への線型写像 T のことである。有界線型作用素の場合とは異なり、ここでは T は全空間 B1 上で定義されない場合も考慮する。二つの作用素が等しいとは、それらが共通の定義域を持ち、その定義域上で同一のものであることを意味する。 作用素 T に対して、もしそのグラフ Γ(T) が閉集合であるなら、T は閉であると言われるここで、グラフ Γ(T) は直和 B1 ⊕ B2 の線型部分空間で、ベクトル x をT の定義域内で動かして得られる対 (x, Tx) 全てからなる集合である。一般に直和上の(l1和ノルムの）グラフへの制限はグラフノルムと呼ばれるが、Tが閉作用素であるということはグラフノルムを用いて次のように表すことができる: 作用素 T が閉であることと、その定義域 D(T) がノルム ‖ x ‖ T = ‖ x ‖ 2 + ‖ T x ‖ 2 . {\displaystyle \|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}\ .} について完備空間であることは同値な条件である。このことを具体的に言い表すと、T の定義域に含まれる点からなる列 (xn) で、B1のベクトル x へと収束し、また Txn がB2のベクトル y へと収束するようなものがあったとき、x は T の定義域に含まれ、Tx = yが成立する、ということになる。 作用素 T はその定義域が B1 において稠密であるとき稠密に定義されていると言われる。 これは全空間 B1 上で定義される作用素も含む。なぜならば全空間はそれ自身において稠密であるからである。定義域の稠密性は、その作用素の共役（adjoint）・転置（transpose）の存在のための必要十分条件である。また、SとTについてD(S) ⊂ D(T)かつT|D(S) = S が成り立つときSはTに含まれる（S ⊂ T）という。 もし T : B1 → B2 が閉で、その定義域上稠密に定義されており連続であるなら、それは全空間 B1 で定義される。 ヒルベルト空間 H 上稠密に定義された作用素 T は、ある実数 a に対して T + a が正作用素となるとき、下に有界であると言われる。これはすなわち、T の定義域内のすべての x に対して ⟨Tx|x⟩ ≥ −a·||x||2 が成立することを意味する。もし T と (–T) の両方とも下に有界であるなら、T は有界である。
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