定義と基本的な性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/07 17:41 UTC 版)
次式で定義される8個の3×3複素行列の組をゲルマン行列という。 λ 1 = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ] λ 2 = [ 0 − i 0 i 0 0 0 0 0 ] {\displaystyle \lambda _{1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{2}={\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}} λ 3 = [ 1 0 0 0 − 1 0 0 0 0 ] λ 4 = [ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ] {\displaystyle \lambda _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{4}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\\\end{bmatrix}}} λ 5 = [ 0 0 − i 0 0 0 i 0 0 ] λ 6 = [ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 ] {\displaystyle \lambda _{5}={\begin{bmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{6}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{bmatrix}}} λ 7 = [ 0 0 0 0 0 − i 0 i 0 ] λ 8 = 1 3 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] {\displaystyle \lambda _{7}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}} ここで、λ1, λ2, λ3 は部分空間に作用するパウリ行列 σ1, σ2, σ3 を λ a = [ σ a 0 0 0 ] ( a = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \lambda _{a}={\begin{bmatrix}\sigma _{a}&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad (a=1,2,3)} の形で含んでおり、ゲルマン行列はパウリ行列の一般化となっている。 ゲルマン行列 λa (a=1,…,8) はエルミート行列かつトレースはゼロとなる。 λ a † = λ a {\displaystyle \lambda _{a}^{\,\dagger }=\lambda _{a}} Tr ( λ a ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Tr} (\lambda _{a})=0} また、二つのゲルマン行列の積のトレースは正規化されており、次の関係式を満たす。 Tr ( λ a λ b ) = 2 δ a b {\displaystyle \operatorname {Tr} (\lambda _{a}\lambda _{b})=2\delta _{ab}} 但し、δabはクロネッカーのデルタである。
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定義と基本的な性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/28 20:24 UTC 版)
一様空間は、集合Xと、一様構造と呼ばれるX×Xの部分集合の族 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の組として定義される。 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の元Uは近縁と呼ばれ、直観的には(x, y) ∈ Uとなる事はxとyが（Uに入る程度には）「近い」事を意味する。例えば擬距離空間の場合には2点間の距離がε以下になるX×Xの部分集合Uεを U ε = { ( x , y ) ∈ X × X : d ( x , y ) < ε } {\displaystyle U_{\varepsilon }=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)<\varepsilon \}} と定義し、 ∃ ε> 0 : U ε ⊂ U {\displaystyle \exists \varepsilon >0~:~U_{\varepsilon }\subset U} を満たすU ⊂ X×Xを近縁とみなす事で自然に一様空間とみなせる事が知られている（詳細後述）。
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