拡張に関すること
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/05 14:35 UTC 版)
「対称作用素の拡張」も参照 作用素 T が作用素 S の拡張であるとは、Γ (S) ⊆ Γ (T)が成立することを言う。同値な定義として、S の定義域内のすべての x は T の定義域に属し、Sx = Tx が成立する、ということが挙げられる。 すべての作用素に対して、至る所で定義された拡張が存在することに注意されたい。これは、代数的なベクトル空間としての基底の存在により説明され、選択公理に基づく純粋代数的な事実である。もし与えられた作用素が有界でないなら、その拡張は不連続線型写像となる。これは、与えられた作用素の重要な性質を保つことはなく（下記を参照）、一般的に一意ではないため、あまり有用性が無い。 作用素 T は、次の同値な条件のいずれかを満たすとき、可閉と呼ばれる: T に閉拡張が存在する; T のグラフの閉包が、ある作用素のグラフである; T の定義域内の点列 (xn) で、xn が 0 に収束し、また Txn がある y に収束するようなすべてのものに対して、 y = 0 が成立する。 すべての作用素が可閉という訳ではない。 可閉な作用素 T は、最小の閉拡張 T ¯ {\displaystyle {\overline {T}}} を持ち、それは T の閉包と呼ばれる。T のグラフの閉包は、 T ¯ {\displaystyle {\overline {T}}} のグラフに等しい。他の、最小ではない閉拡張も存在することがある。 稠密に定義された作用素 T が可閉であるための必要十分条件は、T∗ が稠密に定義されていることである。この場合、 T ¯ = T ∗ ∗ {\displaystyle {\overline {T}}=T^{**}} および ( T ¯ ) ∗ = T ∗ {\displaystyle ({\overline {T}})^{*}=T^{*}} が成り立つ。すべての対称作用素は、可閉である。 もし S が稠密に定義されており、T が S の拡張であるなら、S∗ は T∗ の拡張となる。 対称作用素は、それ自身を除いてもし対称な拡張が存在しないのなら、最大対称と呼ばれる。すべての自己共役作用素は、最大対称であるが、その逆は成立しない。 閉包が自己共役であるような作用素は、本質的自己共役と呼ばれる。ある作用素が本質的自己共役であるための必要十分条件は、それがただ一つの自己共役な拡張を持つことである。作用素には一つよりも多くの自己共役な拡張が存在する可能性があり、連続濃度の相異なる自己共役拡張が存在することさえある。稠密に定義された対称作用素 T が本質的自己共役であるための必要十分条件は、作用素 T – i, および T + i が両方とも稠密な値域を持つことである。 T を稠密に定義された作用素とする。「T が S" の拡張である」という関係を S ⊂ T と表す（ Γ(S) ⊆ Γ(T) に対してよく用いられる省略記号である）。次が成立する。 もし T が対称であるなら、T ⊂ T∗∗ ⊂ T∗ である。 もし T が閉かつ対称であるなら、T = T∗∗ ⊂ T∗ である。 もし T が自己共役であるなら、T = T∗∗ = T∗である。 もし T が本質的自己共役であるなら、T ⊂ T∗∗ = T∗である。
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