拡張の非一意性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/29 00:02 UTC 版)
μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} が σ {\displaystyle \sigma } -有限でないなら、上述のような拡張は必ずしも一意ではない。たとえその拡張自身が σ {\displaystyle \sigma } -有限であっても、その一意性は保証されない。 そのような一例を挙げる： a , b ∈ Q {\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} } に対し、 [ a , b ) {\displaystyle [a,b)} の形で表される任意の Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の部分集合を有理閉開区間と呼ぶことにする。 X {\displaystyle X} を Q ∩ [ 0 , 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1)} とし、 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} を、 Q ∩ [ 0 , 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1)} に含まれるすべての有理閉開区間の有限な合併からなる代数とする。実際そのような Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} が代数であることは簡単に証明することができる。また、 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} に含まれるすべての空でない集合は無限大であることも、簡単に分かる。 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} を、 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} に定義される集合計数関数 ( # {\displaystyle \#} ) とする。 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} が Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 内において有限加法的かつ σ {\displaystyle \sigma } -加法的であることは明らかである。 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} に含まれるすべての空でない集合は無限大であるため、すべての空でない集合 A ∈ Σ 0 {\displaystyle A\in \Sigma _{0}} に対して μ 0 ( A ) = + ∞ {\displaystyle \mu _{0}(A)=+\infty } が成り立つ。 今 Σ {\displaystyle \Sigma } を、 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} によって生成される σ {\displaystyle \sigma } -代数とする。 Σ {\displaystyle \Sigma } が X {\displaystyle X} の部分集合のボレル σ {\displaystyle \sigma } -代数であり、 # {\displaystyle \#} と 2 # {\displaystyle 2\#} は Σ {\displaystyle \Sigma } 上定義される測度で、それらはいずれも μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} の拡張であることが分かる。
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