同値な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/19 11:25 UTC 版)
上記の定義で用いた条件は、以下のいずれの条件とも同値である。ベクトル値確率変数 X = ( X 1 , … , X k ) T {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{T}} はこれらのいずれかが成り立つとき、多変量正規分布に従うと言う。 任意の線型結合 Y = a 1 X 1 + ⋯ + a k X k {\displaystyle Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{k}X_{k}} （ a ∈ R k {\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{k}} を定ベクトルとして Y = a T X {\displaystyle Y=\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} } ）が（1変量）正規分布に従う。ただし分散が 0 の正規分布とは、その平均の位置に確率 1 の確率質量を持つような確率分布を意味することとする。 k 成分ベクトル μ {\displaystyle \mathbf {\mu } } と k × k {\displaystyle k\times k} 対称半正定値行列 Σ {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}} が存在して、 X {\displaystyle \mathbf {X} } の特性関数が φ X ( u ) = exp ( i u T μ − 1 2 u T Σ u ) {\displaystyle \varphi _{\mathbf {X} }(\mathbf {u} )=\exp {\Big (}i\mathbf {u} ^{T}{\boldsymbol {\mu }}-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {u} ^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {u} {\Big )}} と書ける。 球面正規分布（spherical normal distribution）とは、どんな直交座標系で表示しても確率変数ベクトルの各成分が独立となるような分布、と特徴付けられる。
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同値な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/03/25 09:11 UTC 版)
環 R が左（半）遺伝的であることと R のすべての（有限生成）左イデアルが射影加群であることは同値である。 環 R が左遺伝的であることとすべての左加群が長さが高々 1 の射影分解をもつことは同値である。したがって通常の導来関手、例えば ExtiR や TorRi は i > 1 のとき自明である。
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同値な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/03/25 09:30 UTC 版)
環 R が素環であることは以下のいずれの条件とも同値である。 {0} は素イデアル R の左イデアル I, J について、IJ = {0} ならば I = {0} または J = {0} R の右イデアル I, J について、IJ = {0} ならば I = {0} または J = {0} R の両側イデアル I, J について、IJ = {0} ならば I = {0} または J = {0}
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同値な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:03 UTC 版)
二面体群を定義するには、いくつかの方法がある。 グラフ理論の用語を用いれば、n 個の頂点を持つサイクルの自己同型全体のなす群である。これは、「正多角形を不変とする合同変換全体」という元の考えとほぼ同等であり、n ≥ 3 の場合のみ通用する定義である。 抽象的な群の定義として、 D n = ⟨ r , s ∣ r n = s 2 = 1 , s r s = r − 1 ⟩ {\displaystyle D_{n}=\langle r,s\mid r^{n}=s^{2}=1,\ srs=r^{-1}\rangle } あるいは D n = ⟨ x , y ∣ x 2 = y 2 = ( x y ) n = 1 ⟩ {\displaystyle D_{n}=\langle x,y\mid x^{2}=y^{2}=(xy)^{n}=1\rangle } がある。例えば前者は、3つの関係を満たす r, s が生成する群を意味し、r はひとつの回転、s はひとつの鏡映に対応する。後者は二面体群が位数2のふたつの元がなす群であることを意味するが、逆にそのような（有限）群は二面体群に限る。後者の定義はまた、二面体群がコクセター図形 に対応するコクセター群であることも意味する。 位数 n の巡回群 Zn と位数 2 の巡回群 Z2 の半直積 Z n ⋊ ϕ Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\phi }\mathbb {Z} _{2}} としても定義される。ただし、φ(0) は Zn 上の恒等写像、φ(1) は逆元を取る写像とする。この定義と半直積の性質により、Dn は位数 n の巡回群を正規部分群として持つ。
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同値な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/11 00:57 UTC 版)
滑らかな射には多くの同値な定義がある。 f : X → S {\displaystyle f:X\to S} を局所的に有限表示な射とすると、以下は同値である。 f は滑らか。 f は形式的に滑らか（後述）。 f は平坦で、相対微分1形式の層（英語版） Ω X / S {\displaystyle \Omega _{X/S}} は局所自由層でその階数は X / S {\displaystyle X/S} の相対次元。 任意の x ∈ X {\displaystyle x\in X} に対し、ある x の近傍 Spec B {\displaystyle \operatorname {Spec} B} と f ( x ) {\displaystyle f(x)} の近傍 Spec A {\displaystyle \operatorname {Spec} A} が存在し、 B = A [ t 1 , … , t n ] / ( P 1 , … , P m ) {\displaystyle B=A[t_{1},\dots ,t_{n}]/(P_{1},\dots ,P_{m})} と書け、m 行 m 列の小行列式 ( ∂ P i / ∂ t j ) {\displaystyle (\partial P_{i}/\partial t_{j})} で生成されたイデアルが B となる。 f は局所的に X → g A S n → S {\displaystyle X{\overset {g}{\to }}\mathbb {A} _{S}^{n}\to S} とエタール射 g を用いて分解できる。 f は局所的に X → g A S n → A S n − 1 → ⋯ → A S 1 → S {\displaystyle X{\overset {g}{\to }}\mathbb {A} _{S}^{n}\to \mathbb {A} _{S}^{n-1}\to \cdots \to \mathbb {A} _{S}^{1}\to S} とエタール射 g を用いて分解できる。 有限型の射がエタールであることと、滑らかかつ準有限（英語版）であることは同値である。 滑らかな射は基底変換や合成に関して閉じている。滑らかな射は局所的に有限表示である。 滑らかな射は、局所的に絶対非輪状（英語版）（universally locally acyclic）である。
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同値な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/04 13:58 UTC 版)
以下の命題はすべて上述の定義と同値である。 X の任意の無限部分集合は X にω-集積点を持つ。 X の任意の点列は X に集積点を持つ。 閉集合からなる可算な集合族 A⊂P(X) が ⋂ A = ∅ {\displaystyle \bigcap A=\emptyset } を満たすならば、ある有限部分集合 B⊂A が存在して ⋂ B = ∅ {\displaystyle \bigcap B=\emptyset } 。
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同値な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/31 01:45 UTC 版)
上記のものとは同値だが別な定義の仕方もある。すなわち、前順序集合 A の任意の有限集合が上界を持つとき、A は有向集合であるという。先の定義はこの定義を含意する。実際、空集合に対しては、A が空でないから A に存在する任意の元が空集合の上界になるし、空でない有限集合については、二元ごとの上界を求める操作を繰り返せば、その元の数に関する帰納法で上界の存在を示せる。
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同値な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/28 08:13 UTC 版)
正規行列を定義する条件には互いに同値な命題が非常にたくさん知られている。A を n×n 複素行列とすると、以下は何れも同値である。 A は正規である。 A はユニタリ行列で対角化可能。 A の固有ベクトルからなる正規直交系により全体空間が生成される。[要出典] 任意の x に対して ǁTxǁ = ǁT∗xǁ が成り立つ。 tr ( A ∗ A ) = ∑ j n | λ j | 2 {\displaystyle \operatorname {tr} (A^{*}A)=\sum _{j}^{n}|\lambda _{j}|^{2}} (つまり A のフロベニウスノルムは A の固有値から計算できる。) A のエルミート成分 (1/2)(A + A∗) と歪エルミート成分 (1/2)(A − A∗) は交換可能。 A∗ は A の（次数 ≤ n − 1 の）多項式に書ける 適当なユニタリ行列 U を用いて A∗ = AU と書ける。 ユニタリ行列 U と正定値行列 P を用いて極分解（英語版） A = UP を考えたとき、U と P は交換可能である。 A は相異なる固有値を持つ適当な正規行列 N と交換可能である。 A が σ1(A) ≥ … ≥ σn(A) なる特異値 σi と |λ1(A)| ≥ … ≥ |λn(A)| なる固有値 λi を持つとき、各 i = 1, …, n に対して σi(A) = |λi(A)|が成り立つ。 上記の全てではないがいくつかは無限次元ヒルベルト空間上の正規作用素に対しても一般化される。例えば、上記の極分解に関する条件を満足する有界作用素は準正規作用素であることまでしか言えない。 正規行列 N の作用素ノルムは N の数域半径（英語版）およびスペクトル半径に等しい（この事実は正規作用素に対して一般化できる）。これを明示的に書けば、 sup ‖ x ‖ = 1 ‖ N x ‖ = sup ‖ x ‖ = 1 | ⟨ N x , x ⟩ | = max { | λ | : λ ∈ σ ( N ) } {\displaystyle \sup _{\|x\|=1}\|Nx\|=\sup _{\|x\|=1}|\langle Nx,x\rangle |=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (N)\}} が成り立つということである。
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