同値なノルムの例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/14 05:30 UTC 版)
実行列 A ∈ Rm×n に対し、以下の不等式が成立する: ‖ A ‖ 2 ≤ ‖ A ‖ F ≤ r ‖ A ‖ 2 {\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{2}} ‖ A ‖ F ≤ ‖ A ‖ ∗ ≤ r ‖ A ‖ F {\displaystyle \|A\|_{F}\leq \|A\|_{*}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{F}} ‖ A ‖ max ≤ ‖ A ‖ 2 ≤ m n ‖ A ‖ max {\displaystyle \|A\|_{\max }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\max }} 1 n ‖ A ‖ ∞ ≤ ‖ A ‖ 2 ≤ m ‖ A ‖ ∞ {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }} 1 m ‖ A ‖ 1 ≤ ‖ A ‖ 2 ≤ n ‖ A ‖ 1 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}} ここで r は行列 A のランクである。 他にも次のような関係は有用である： ‖ A ‖ 2 ≤ ‖ A ‖ 1 ‖ A ‖ ∞ {\displaystyle \|A\|_{2}\leq {\sqrt {\|A\|_{1}\|A\|_{\infty }}}} これはヘルダーの不等式の特殊例である。
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