周期倍分岐とは？わかりやすく解説

力学系において周期倍分岐（しゅうきばいぶんき、period-doubling bifurcation）とは分岐の一種である。

この分岐では、パラメータが変化していきある値に達すると、安定な不動点が不安定化し、その両側に安定な2周期点が発生する。

具体例

$x$ を実数、 $\mu$ を実数のパラメータとして、1次元写像

x\to f(x,\mu )=-x-\mu x+x^{3}

を考える。

$x=0$ は $\mu <0$ においては安定な不動点である( $f(x,\mu )=x$ を満たす1周期点である)が、 $\mu >0$ においては不安定であり、また $\mu >0$ において

f({\sqrt {\mu }},\mu )=-{\sqrt {\mu }}

かつ

f(-{\sqrt {\mu }},\mu )={\sqrt {\mu }}

であることから、 $x=\pm {\sqrt {\mu }}$ は2周期点となっていて、かつ安定である。

従って、 $\mu$ が負から正に増加していく過程で0を跨ぐ瞬間に、安定な不動点(1周期点)が不安定化し、その代わりに安定な2周期点がその両側に生じたことになる。

このことから、上記の1次元写像は $\mu =0$ を境に周期倍分岐を起こしたと言う。