フルヴィッツのゼータ函数
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フルヴィッツのゼータ函数 (Hurwitz zeta function) はゼータ函数の一種で、名前はアドルフ・フルヴィッツに因む。フルヴィッツのゼータ函数は、Re(s) > 1 なる s と Re(q) > 0 なる q の 2 つの複素数に対して、形式的に以下のように定義される。
- ^ Hasse, Helmut (1930), “Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe”, Mathematische Zeitschrift 32 (1): 458–464, doi:10.1007/BF01194645
- ^ Vepstas, Linas (2007). "An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions". arXiv:math/0702243。
- ^ a b c Davenport (1967) p.73
- ^ Lowry, David. “Hurwitz Zeta is a sum of Dirichlet L functions, and vice-versa”. mixedmath. 2013年2月8日閲覧。
- ^ Kubert, Daniel S.; Lang, Serge (1981). Modular Units. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 244. Springer-Verlag. p. 13. ISBN 0-387-90517-0. Zbl 0492.12002
- ^ Davenport, H. & Heilbronn, H. (1936), “On the zeros of certain Dirichlet series”, Journal of the London Mathematical Society 11 (3): 181–185, doi:10.1112/jlms/s1-11.3.181
- ^ Cassels, J. W. S. (1961), “Footnote to a note of Davenport and Heilbronn”, Journal of the London Mathematical Society 36 (1): 177–184, doi:10.1112/jlms/s1-36.1.177
- ^ Given by Cvijović, Djurdje & Klinowski, Jacek (1999), “Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments”, Mathematics of Computation 68 (228): 1623–1630, Bibcode: 1999MaCom..68.1623C, doi:10.1090/S0025-5718-99-01091-1
- ^ ベルヌーイ多項式とオイラー多項式やそれらの関係は、英語版では同じ記事ベルヌーイ多項式の中に記載されている。
- ^ Schwinger, J. (1951), “On gauge invariance and vacuum polarization”, Physical Review 82 (5): 664–679, Bibcode: 1951PhRv...82..664S, doi:10.1103/PhysRev.82.664
- ^ Apostol (1976) p.264
フルヴィッツゼータ函数
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フルヴィッツゼータ函数はポリガンマ函数を非整数階に一般化するものであるから、したがってポリガンマと同様の乗法定理 k s ζ ( s ) = ∑ n = 1 k ζ ( s , n / k ) {\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta (s,n/k)} を満足する（ζ(s) はリーマンゼータ函数）。これは k s ζ ( s , k z ) = ∑ n = 0 k − 1 ζ ( s , z + n / k ) {\displaystyle k^{s}\zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\zeta (s,z+n/k)} および ζ ( s , k z ) = ∑ n = 0 ∞ ( s + n − 1 n ) ( 1 − k ) n z n ζ ( s + n , z ) {\displaystyle \zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{\infty }{s+n-1 \choose n}(1-k)^{n}z^{n}\zeta (s+n,z)} の特別の場合になっている。 非主指標に対する乗法公式はディリクレL函数の形で与えることができる。
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