フルヴィッツのゼータ函数
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フルヴィッツのゼータ函数 (Hurwitz zeta function) はゼータ函数の一種で、名前はアドルフ・フルヴィッツに因む。フルヴィッツのゼータ函数は、Re(s) > 1 なる s と Re(q) > 0 なる q の 2 つの複素数に対して、形式的に以下のように定義される。
フルヴィッツゼータ函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/28 02:24 UTC 版)
フルヴィッツゼータ函数はポリガンマ函数を非整数階に一般化するものであるから、したがってポリガンマと同様の乗法定理 k s ζ ( s ) = ∑ n = 1 k ζ ( s , n / k ) {\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta (s,n/k)} を満足する（ζ(s) はリーマンゼータ函数）。これは k s ζ ( s , k z ) = ∑ n = 0 k − 1 ζ ( s , z + n / k ) {\displaystyle k^{s}\zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\zeta (s,z+n/k)} および ζ ( s , k z ) = ∑ n = 0 ∞ ( s + n − 1 n ) ( 1 − k ) n z n ζ ( s + n , z ) {\displaystyle \zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{\infty }{s+n-1 \choose n}(1-k)^{n}z^{n}\zeta (s+n,z)} の特別の場合になっている。 非主指標に対する乗法公式はディリクレL函数の形で与えることができる。
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