ディリクレのL関数
ディリクレのL-関数（ディリクレのエルかんすう、Dirichlet L-function）は、リーマンゼータ関数を一般化したものである。算術級数中の素数の分布の研究に基本的な関数である。実際ディリクレは、初項と公差が互いに素であるような等差数列には無限に素数が含まれること（算術級数定理）を証明するために、この関数を導入した。最も古典的なL-関数であり、単にL-関数と呼ばれることもあるが、数論の発展に伴って類似の性質を持った数論的関数が多く考え出され、それらにもL-関数の名が付されている。
任意の整数 a に対し複素数を対応させる写像で、自然数 N に関して以下を満たす χ を法Nのディリクレ指標と呼ぶ。
ディリクレ L-函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 09:00 UTC 版)
「p-進L-函数」の記事における「ディリクレ L-函数」の解説
ディリクレ L-函数は、級数 L ( s , χ ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s = ∏ p prime 1 1 − χ ( p ) p − s {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}} の解析接続として与えられる。負の整数でのディリクレ L-函数の値は、 L ( 1 − n , χ ) = − B n , χ n {\displaystyle L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}} である。ここに、Bn,χ は一般化されたベルヌーイ数であり、導手 f を持つディリクレ指標 χ に対し、 ∑ n = 0 ∞ B n , χ t n n ! = ∑ a = 1 f χ ( a ) t e a t e f t − 1 {\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}} で定義される。
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