ディリクレのエル関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/01/26 04:05 UTC 版)
「算術級数定理」の記事における「ディリクレのエル関数」の解説
ディリクレ指標 χ {\displaystyle \chi } によるディリクレ級数で定義される関数をディリクレのエル関数という。 L ( s , χ ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}} 右辺のディリクレ級数は ℜ s > 1 {\displaystyle \Re {s}>1} で絶対収束する。また、 χ ≠ χ 0 {\displaystyle \chi \neq \chi _{0}} であれば、指標の直交性により | ∑ χ ( n ) | ≤ φ ( d ) {\displaystyle \left|\sum \chi (n)\right|{\leq }\varphi (d)} であるから、 L ( s , χ ) {\displaystyle L(s,\chi )} は ℜ s > 0 {\displaystyle \Re {s}>0} で一様収束して正則である。 L ( s , χ 0 ) {\displaystyle L(s,\chi _{0})} については、法 d {\displaystyle d} と素な素数 q {\displaystyle q} を任意に選び、 Q ( s ) = ( 1 − q q s ) L ( s , χ 0 ) = ∑ n = 1 ∞ χ 0 ( n ) n s − ∑ m = 1 ∞ q χ 0 ( m ) ( q m ) s = ∑ n = 1 ∞ b n n s {\displaystyle Q(s)=\left(1-{\frac {q}{q^{s}}}\right)L(s,\chi _{0})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{0}(n)}{n^{s}}}-\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {q\chi _{0}(m)}{(qm)^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}} b n = { χ 0 ( n ) − q χ 0 ( n / q ) q | n χ 0 ( n ) otherwise {\displaystyle b_{n}={\begin{cases}\chi _{0}(n)-q\chi _{0}(n/q)&q|n\\\chi _{0}(n)&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} とすると | ∑ b n | ≤ q φ ( d ) {\displaystyle \left|\sum {b_{n}}\right|{\leq }q\varphi (d)} であるから、 Q ( s ) {\displaystyle Q(s)} は ℜ s > 0 {\displaystyle \Re {s}>0} で一様収束して正則である。従って、 L ( s , χ 0 ) = Q ( s ) 1 − q q s {\displaystyle L(s,\chi _{0})={\frac {Q(s)}{1-{\frac {q}{q^{s}}}}}} は s = 1 + 2 π i n / log q {\displaystyle s=1+2{\pi }in/\log {q}} に高々位数1の極を持つことを除き ℜ s > 0 {\displaystyle \Re {s}>0} で正則である。整数の素因数分解の一意性と χ ( n 1 ) χ ( n 2 ) = χ ( n 1 n 2 ) {\displaystyle \chi (n_{1})\chi (n_{2})=\chi (n_{1}n_{2})} により L ( s , χ ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s = ∏ p ( 1 + ∑ k = 1 ∞ χ ( p k ) p k s ) = ∏ p 1 1 − χ ( p ) p s ( ℜ s > 1 ) {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\chi (p^{k})}{p^{ks}}}\right)=\prod _{p}{\frac {1}{1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}}}\qquad (\Re {s}>1)} と表され、これをエル関数のオイラー乗積表示という。
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