指標の直交性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 03:47 UTC 版)
成分が A j k = f j ( g k ) {\displaystyle A_{jk}=f_{j}(g_{k})} 、ただし g k {\displaystyle g_{k}} は G の k 番目の元、であるような n × n {\displaystyle n\times n} 行列 A=A(G) を考えよう。 A の j 行目の成分の和は次で与えられる。 ∑ k = 1 n A j k = ∑ k = 1 n f j ( g k ) = 0 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{jk}=\sum _{k=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0} if j ≠ 1 {\displaystyle j\neq 1} , and ∑ k = 1 n A 1 k = n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{1k}=n} . A の j 列目の成分の和は次で与えられる。 ∑ j = 1 n A j k = ∑ j = 1 n f j ( g k ) = 0 {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{jk}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0} if k ≠ 1 {\displaystyle k\neq 1} , and ∑ j = 1 n A j 1 = ∑ j = 1 n f j ( e ) = n {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{j1}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(e)=n} . A ∗ {\displaystyle A^{\ast }} で A の共役転置 (conjugate transpose) を表す。すると A A ∗ = A ∗ A = n I {\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A=nI} . これは指標の所望の直交性関係を意味する。すなわち、 ∑ k = 1 n f k ∗ ( g i ) f k ( g j ) = n δ i j {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{f_{k}}^{*}(g_{i})f_{k}(g_{j})=n\delta _{ij}} , ただし δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} はクロネッカーのデルタで f k ∗ ( g i ) {\displaystyle f_{k}^{*}(g_{i})} は f k ( g i ) {\displaystyle f_{k}(g_{i})} の複素共役である。
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