ディリクレのL-函数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 15:01 UTC 版)
「フルヴィッツのゼータ函数」の記事における「ディリクレのL-函数との関係」の解説
有理数の引数に対してフルヴィッツのゼータ函数は、ディリクレのL-函数の線型結合とは、相互に表される関係にある。フルヴィッツのゼータ函数は、q = 1 のときにはリーマンゼータ函数 ζ(s) に一致する。q = 1/2 のときには、フルヴィッツのゼータ函数は (2s−1)ζ(s) に等しくなり、k > 2 のとき、q = n/k で (n,k) > 1 かつ 0 < n < k に対しては、mod k のディリクレ指標の全てを渡る和として、 ζ ( s , n / k ) = k s φ ( k ) ∑ χ χ ¯ ( n ) L ( s , χ ) {\displaystyle \zeta (s,n/k)={\frac {k^{s}}{\varphi (k)}}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(n)L(s,\chi )} となる。反対に、線型結合 L ( s , χ ) = 1 k s ∑ n = 1 k χ ( n ) ζ ( s , n k ) {\displaystyle L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right)} で、フルヴィッツのゼータ函数を表すこともできる。 乗法定理(multiplication theorem) k s ζ ( s ) = ∑ n = 1 k ζ ( s , n k ) {\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right)} もあり、この定理の有益な一般化は、分布関係 (distribution relation) ∑ p = 0 q − 1 ζ ( s , a + p / q ) = q s ζ ( s , q a ) {\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa)} である（最後の式は q が自然数で、1 − qa が自然数でない場合はいつでも有効である）。
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